Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 28
(Perché possiamo dire che α < π
4 ?)
domanda: se prendiamo un qualsiasi numero α appartenente a questo
intervallo, possiamo sempre trovare un triangolo con lati interi che abbia α
come angolo? In altre parole, gli angoli dei triangoli pitagorici ‘coprono’
tutto l’intervallo 0, π
? 4
risposta: no; basta scegliere per esempio π:
abbiamo visto che non può
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esistere un triangolo pitagorico con questo angolo.
Ipotizzando quindi di aver rappresentato il solito schema per gli angoli, in
esso troveremo infiniti angoli α, con 0 < α < π,
ma non troviamo tutti i valori
4
di questo intervallo. Per convenzione, diamo questa definizione naturale al
tipo di angoli che stiamo analizzando:
Definizione 1.6. Un angolo α è pitagorico se esiste un triangolo pitagorico
che abbia per angolo proprio α, cioè se α può essere un angolo di un triangolo
pitagorico.
Ci poniamo adesso una domanda più generale: scegliamo un qualsiasi
valore β tale che 0 < β < π;
supponiamo che β non sia un angolo pitagorico
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e vogliamo trovare un valore che sia più vicino possibile a β, il quale invece
compaia nello schema degli angoli pitagorici. Quanto ci dobbiamo allontanare
da β per trovare questo angolo α?
Si dimostra che è sufficiente allontanarsi di pochissimo da β per trovare
tale valore α. Più precisamente, comunque scegliamo un valore piccolo quanto
vogliamo ɛ, purché sia maggiore di zero, abbiamo che esiste α angolo
pitagorico tale che β − ɛ < α < β + ɛ. Se scegliamo quindi un angolo all’interno
del nostro intervallo, non è detto che questo sia un angolo pitagorico,
ma sappiamo che esiste un angolo ‘vicino quanto vogliamo’, il quale è un angolo
di un triangolo pitagorico. Questo significa che ogni triangolo rettangolo
è ‘approssimativamente simile’ ad un triangolo pitagorico.
Ci sono teoremi che permettono, dato l’angolo, di trovare un triangolo
pitagorico che abbia un angolo abbastanza vicino a quello di partenza
(possiamo decidere noi inizialmente quanto lo vogliamo vicino). Il triangolo
che otteniamo, però, potrebbe essere anche molto grande. Una volta
scelto un angolo β e la precisione e (cioè quanto al massimo l’angolo può
differire dall’angolo del triangolo pitagorico da determinare), i teoremi determinano
il ‘più piccolo’ triangolo pitagorico il cui angolo minore α sia tale
che β − e < α < β + e.