Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 83
di tipo 1, 2, 3 (riferendoci alla trasformazione corrispondente). Viceversa, data
una certa sequenza di passi di questo tipo, determiniamo univocamente la
terna.
Pensiamo quindi la sequenza (d1, d2, . . . , dn) come uno ‘SVILUPPO’ corrispondente
alla terna (a, b, c) sull’alfabeto ternario {1, 2, 3}.
Per distinguere il diverso ordine della parità, aggiungiamo allo sviluppo
una cifra finale dn+1, che può assumere i valori oe (a dispari e b pari) oppure eo
(a pari, b dispari). Lo sviluppo è definito quindi con l’ordine dei pedici delle
matrici. Se volessimo l’ordine di moltiplicazione per le matrici, cominciando
da (3, 4, 5), dovremmo considerare l’ordine inverso.
Abbiamo così la corrispondenza biunivoca:
∞
(a, b, c) ∈ P P T ↔ (d1, d2, . . . , dn+1) ∈ {1, 2, 3} n × {oe, eo}
Definiremo quindi una trasformazione su Q, estesa anche a punti con
coordinate irrazionali, la quale definisce uno sviluppo di un punto, che per i
punti razionali coincide con quello della terna corrispondente.
n=0
Teorema 3.2. (Romik, 2008)
Sia Q = {(x, y) : x > 0, y > 0, x 2 + y 2 = 1}.
Definiamo la trasformazione T : Q → Q così:
| − x − 2y + 2| | − 2x − y + 2|
T (x, y) =
, .
−2x − 2y + 3 −2x − 2y + 3
Definiamo poi un’altra applicazione d : Q → {1, 2, 3, oe, eo} come segue:
⎧
1, x
y
< 3
4 ,
⎪⎨
3 x 4
2, < < 4 y 3
d(x, y) =
⎪⎩
,
4 x 3, < 3 y ,
oe, (x, y) =
3 4 , , 5 5
eo, (x, y) =
4 3 , . 5 5
Iterando la trasformazione, fino a che eventualmente venga ottenuto il
punto (0, 1) o (0, 1), al passo n-esimo associamo la cifra corrispondente al
punto trovato, definendo in questo modo lo sviluppo del punto di partenza.
1- Se (x, y) =
a b
2 a b
, ∈ Q ∩ Q , con , ridotti ai minimi termini (cioè
c c
c c
(a, b, c) ∈ P P T ),
allora per qualche n ≥ 0, l’iterata (n + 1)-esima di T , T n+1 (x, y), sarà
uguale a (1, 0) oppure a (0, 1) e, se definiamo
dk = d(T k−1 (x, y)), k = 1, 2, ..., n + 1