Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 19
Il teorema ci conferma che le terne pitagoriche primitive sono infinite (possiamo
applicare le trasformazioni un numero di volte illimitato) ed aggiunge
a questo che tutte possono essere ricavate a partire da (3, 4, 5). Sappiamo
infatti che (3, 4, 5) è la più semplice delle terne e tutte quelle di dimensioni
maggiori si possono ricavare solo applicando queste tre trasformazioni.
Questo meccanismo di generazione di terne pitagoriche può essere descritto
in modo più chiaro dalla figura 1.1. Da ogni terna pitagorica primitiva
se ne diramano potenzialmente altre tre: la linea in alto simboleggia la
trasformazione associata ad M1, quella orizzontale ad M2, quella in basso ad
M3.
Facciamo alcune osservazioni sul grafico.
- La linea centrale contiene tutte terne in cui a, b sono interi consecutivi:
applicando in successione sempre la seconda trasformazione, otteniamo
terne sempre più grandi e resta sempre valida la relazione tra a e b :
|a − b| = 1.
- Il percorso all’estremità in alto, in cui ci sono terne ottenute iterando
solo la prima trasformazione, contiene terne sempre più grandi, in cui
vale sempre che b e c sono interi consecutivi.
- La linea all’estremità in basso contiene tutte quelle in cui a e c sono
numeri dispari consecutivi (questa volta si applica in successione la
trasformazione 3).
Si possono inoltre tracciare sequenze alternando con una certa regolarità
la prima, la seconda e la terza trasformazione, cioè effettuando ‘passi’ sul
grafico che chiameremo rispettivamente di tipo UP, ACROSS, DOWN (U,
A, D).
Per adesso soffermiamoci su queste osservazioni e riflettiamo sul loro significato
geometrico. Prendiamo in considerazione la successione centrale e
vediamola come successione di triangoli pitagorici corrispondenti:
(3, 4, 5) → (21, 20, 29) → (119, 120, 169) → . . .
Proviamo a disegnare questi triangoli (eventualmente riscalando l’unità di
misura, in modo che siano più o meno delle stesse dimensioni). Applicando
ripetutamente la trasformazione 2, i lati dei triangoli sono sempre più grandi,
ma la differenza tra i cateti è sempre di 1 unità. La differenza di 1 unità influisce
molto se i numeri in questione sono piccoli, mentre diventa sempre più
ininfluente, in proporzione, al crescere di essi; cioè, per determinare quanto
due lunghezze siano ‘vicine’, non dobbiamo guardare la differenza assoluta,