Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 2. RELAZIONE SULLE VERIFICHE 55
coppia di interi (m, n) (fila A), oppure con nessun valore possibile per m ed
n interi (fila B).
Per la fila A, l’equazione da impostare è: 2A = P , cioè
la quale si riduce a:
2mn · (m 2 − n 2 ) = m 2 − n 2 + 2mn + m 2 + n 2 ,
(m − n) · n = 1.
Abbiamo che il prodotto di due interi è uguale ad 1 e quindi i due fattori
devono essere necessariamente entrambi uguali ad 1, cioè:
m − n = 1, n = 1, quindi m = 2, n = 1.
L’unico triangolo pitagorico che ha le proprietà richieste è quindi quello
che ha come lunghezze dei lati la terna (3, 4, 5).
Per la fila B l’equazione da impostare è invece 4A = P .
Svolgendo calcoli del tutto analoghi, la condizione finale risulta essere:
2 · (m − n) · n = 1.
In questo caso abbiamo che il doppio prodotto di due interi è uguale ad
1 e questo non è possibile per nessun valore dei due fattori.
Non esistono quindi triangoli pitagorici con queste proprietà.
Riflessioni
Quasi tutti hanno provato a svolgere l’esercizio e gran parte della classe è
arrivata alla risposta finale, benché le spiegazioni esaurienti del procedimento
siano state rare. Soprattutto non c’è stata attenzione nella motivazione della
conclusione: è stato spiegato in modo superficiale o non completamente corretto
il fatto che m = 2, n = 1 è proprio l’unica soluzione possibile, per quanto
riguarda la fila A, oppure il fatto che non esistono soluzioni per la fila B. Le
seguenti affermazioni sono motivazioni della non esistenza delle soluzioni,
riportate da due studenti, una volta arrivati alla scrittura dell’equazione:
1 = 2n · (m − n).
Esempio 2.14. L’unica possibilità in cui il prodotto di due numeri interi sia
1 è che entrambi siano 1. Ma se entrambi sono 1 non sono di diversa parità
e m non è maggiore di n.
Esempio 2.15. Con il 2 a moltiplicare non può esserci un numero naturale
che moltiplicato per 2 possa fare 1. Implicherebbe la presenza di un numero
negativo che non può essere presente nei triangoli pitagorici.