Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 85
osserviamo che:
Se (x, y) ∈ Q ∩ Q 2 :
(x, y) =
T |Q∩Q 2 = B ◦ S ◦ B −1 .
a b B−1 , → (a, b, c)
c c
S → S(a, b, c) B
a b
→ T , = T (x, y).
c c
Quindi, poiché ad un certo passo (n + 1) abbiamo che S n+1 è uguale a
(1, 0, 1) o a (0, 1, 1), allora T n+1 sarà uguale a (1, 0) o a (0, 1).
Vediamo adesso che, sempre se siamo nel caso di coordinate razionali, la
funzione d determina, per come è stata definita, proprio il giusto sviluppo
della terna corrispondente.
Consideriamo una terna
(a, b, c) ∈ P P T ;
a b
, = (x, y) ∈ Q ∩ Q
c c
2 .
La prima cifra dello sviluppo di (a, b, c) è uguale ad 1 se e solo se
−a − 2b + 2c < 0
−2a − b + 2c > 0 ⇔
−x − 2y + 2 < 0
−2x − y + 2 > 0
L’intersezione dei due semipiani e dell’arco Q coincide proprio con la parte
di Q delimitata da
3 4 , e (0, 1), estremi esclusi.
5 5
Questo arco aperto coincide anche con l’intersezione tra Q ed il semipiano
{ x
y
< 3
4 }.
Quindi
d1 = 1 ⇔ x
y
Analogamente si verifica che
d1 = 2 ⇔ 3
4
d1 = 3 ⇔ 4
3
< x
y
< 3
4
< x
y
< 4
3
⇔ d(x, y) = 1.
⇔ d(x, y) = 2;
⇔ d(x, y) = 3.
Continuando la verifica per induzione, dimostriamo il primo punto.
Mostriamo che, se (x ′ , y ′ ) = T (x, y) ∈ Q 2 , allora anche (x, y) ∈ Q 2 .
Supponiamo che
a ′
b′
,
c ′ c ′
= (x ′ , y ′ ) = T (x, y).