Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

Capitolo 3
Complementi al teorema di
Barning
3.1 Teorema di Barning
Torniamo sulla dimostrazione del teorema di Barning, riguardante la generazione
di terne pitagoriche primitive, della quale sono stati presentati
brevemente in classe solo i passaggi che vengono seguiti. La dimostrazione
originale si può trovare in [12]. Il teorema è stato poi ritrovato successivamente
attraverso diversi procedimenti. In questo contesto viene seguita la
linea di [1] e [7].
Diamo preliminarmente una definizione formale all’insieme delle terne
pitagoriche primitive e presentiamo un insieme in corrispondenza biunivoca
con esso.
P P T := {(a, b, c) ∈ Z 3 : (a, b) = 1; a, b, c > 0; a 2 + b 2 = c 2 }
(in questa sezione considereremo l’insieme delle terne ordinate).
Sia C la circonferenza unitaria centrata nell’origine e sia
Q := C ∩ {(x, y) : x > 0, y > 0}
Osservazione 3.1. Dati a, b, c interi positivi: la condizione a 2 + b 2 = c 2 è
equivalente a:
a
2 +
c
2 b
= 1.
c
Quindi, affermare che (a, b, c) è una terna pitagorica primitiva, equivale
ad affermare che i punti a coordinate razionali
a b , appartengono all’in-
c c
sieme Q.
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