Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 3. COMPLEMENTI AL TEOREMA DI BARNING 79
(a ′′ , b ′′ , c ′′ ) ∈ P P T, a meno che la terna non provenga da
(a ′ , b ′ , c ′ ) = (−1, 0, 1), oppure da (a ′ , b ′ , c ′ ) = (0, −1, 1),
nel quale caso (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) = (1, 0, 1) o (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) = (0, 1, 1):
questa situazione si verifica soltanto quando (a, b, c) è uguale a (3, 4, 5)
oppure a (4, 3, 5).
Escludendo questo caso, (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) ∈ P P T, con c ′ = c ′′ < c, infatti:
c ′ = c − 2q; q = a + b + c = a + b + √ a 2 + b 2 > 0.
Se (a ′′ , b ′′ , c ′′ ) è un elemento di P P T, ci sono esattamente tre terne appartenenti
a P P T che conducono ad essa attraverso questa procedura, le
quali corrispondono alle tre possibili combinazioni dei segni.
Infatti ci sono tre possibilità:
- (a ′ , b ′ , c ′ ) = (−|a ′ |, |b ′ |, c ′ )
- (a ′ , b ′ , c ′ ) = (−|a ′ |, −|b ′ |, c ′ )
- (a ′ , b ′ , c ′ ) = (|a ′ |, −|b ′ |, c ′ )
Si dimostra inoltre che I è invertibile: in particolare vale I 2 = Id3.
Ogni terna (a ′ , b ′ , c ′ ) può provenire quindi da un’unica terna.
Le possibili terne di partenza sono esattamente tre e si possono ricavare
come segue.
- Se (a ′ , b ′ , c ′ ) = (−|a ′ |, |b ′ |, c ′ ) = (−a ′′ , b ′′ , c ′′ ), allora:
Quindi:
⎛
a
⎝
′′
⎞ ⎛
−a
⎠ = ⎝
′
b ′
c ′
⎞ ⎛
−1 0
⎞
0
⎛ ⎞
a
⎠ = ⎝ 0 1 0⎠
I ⎝b⎠
.
0 0 1 c
b ′′
c ′′
⎛ ⎞
a
⎛
−1 0
⎞ ⎛
0 a
⎝b⎠
= I ⎝ 0 1 0⎠
⎝
c 0 0 1
′′
b ′′
c ′′
⎞ ⎛
a
⎠ = M1 ⎝
′′
b ′′
c ′′
⎞
⎠ .
- Se (a ′ , b ′ , c ′ ) = (−|a ′ |, −|b ′ |, c ′ ) = (−a ′′ , −b ′′ , c ′′ ), analogamente:
⎛ ⎞
a
⎛
−1 0
⎞ ⎛
0 a
⎝b⎠
= I ⎝ 0 −1 0⎠
⎝
c 0 0 1
′′
b ′′
c ′′
⎞ ⎛
a
⎠ = M2 ⎝
′′
b ′′
c ′′
⎞
⎠ .