Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 24
Come abbiamo già detto, si possono costruire altre sequenze significative
alternando con regolarità ‘passi’ in alto (UP), centrali (ACROSS) o in basso
(DOWN).
Consideriamo ad esempio la sequenza DUDU . . . (alterniamo un passo in
basso ed uno in alto).
(3, 4, 5) D → (15, 8, 17) U → (33, 56, 65) D → (209, 120, 241) U → . . .
Calcoliamo la successione dei rapporti tra l’ipotenusa ed il cateto minore:
a che numero si avvicina? Perché?
Il rapporto si avvicina a 2, perché l’ipotenusa ed il doppio del cateto
minore sono due interi consecutivi e con numeri sempre maggiori la differenza
di 1 unità è sempre meno influente.
Se consideriamo quindi la successione dei relativi triangoli pitagorici, a che
tipo di triangolo si avvicinerà progressivamente? I triangoli si avvicinano ad
un triangolo rettangolo, il cui cateto minore è uguale alla metà dell’ipotenusa
(il triangolo è la metà di un triangolo equilatero).
- Può esistere un triangolo pitagorico con questa proprietà?
- Si potrebbe utilizzare una successione relativa a questa sequenza per
approssimare un altro numero irrazionale? Quale?
- Quale successione dovremmo scegliere? Come prima prendiamo una
successione di rapporti.
Possiamo percorrere ulteriori sequenze che danno luogo ad interessanti
fatti geometrici (per esempio le sequenze DADA . . . e ADAD . . . tendono
a formare triangoli simili a quelli prodotti da UAUA . . . e AUAU . . .), o
algebrici, su cui torneremo in seguito.
Ricapitolando: abbiamo visto che anche le terne pitagoriche primitive
sono infinite ed abbiamo visto come si possono generare tutte. Analogamente
i triangoli pitagorici sono infiniti e non sono tutti simili tra loro, anzi ne
possiamo avere di molto diversi tra loro, per quanto riguarda la loro ‘forma’,
cioè i loro angoli.
1.5 Lezione 4
(1 ora)
Torniamo alla forma generale delle terne pitagoriche primitive determinata
da Euclide: che legame c’è tra questa formula e la generazione di terne