Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 2. RELAZIONE SULLE VERIFICHE 41
- Se p è nella scomposizione di m, allora p divide sia a che m ed anche
m 2 . Quindi p divide m 2 − a = n 2 , ma questo non è possibile perché
abbiamo supposto che MCD(m, n) = 1.
- Se p è nella scomposizione di n, facciamo un ragionamento analogo e
vediamo che anche questo caso si deve escludere.
- Se p = 2, allora a sarebbe pari, ma questo è escluso dal fatto che
scegliamo m ed n di diversa parità (anche m 2 ed n 2 risultano di diversa
parità e perciò la loro differenza è dispari).
Quindi MCD(a, b) = 1, ⇒ MCD(a, b, c) = 1.
Soluzione 12. Limitiamo la nostra ricerca ai triangoli relativi a terne primitive.
Poniamo la formula del perimetro uguale a quella dell’area, scrivendo i
lati del triangolo nella forma di Euclide.
L’area di un triangolo rettangolo si trova calcolando il semiprodotto tra i
due cateti:
AREA = 2mn(m2 − n 2 )
2
= mn(m 2 − n 2 )
P ERIMET RO = m 2 − n 2 + 2mn + m 2 + n 2 = 2m 2 + 2mn.
⇒ mn(m 2 − n 2 ) = 2m 2 + 2mn
mn(m + n)(m − n) = 2m(m + n) ⇒ n(m − n) = 2.
Quindi l’unica possibilità è: m − n = 1 e n = 2. Di conseguenza m = 3.
Il triangolo è quello di lati (5, 12, 13).
Estendendo la ricerca a terne non primitive, troviamo anche (6, 8, 10).
2.2 Testi dei compiti in classe
I primi due esercizi sono, per entrambe le classi, varianti degli esercizi di
preparazione al compito concernenti la formula di Euclide.
Il terzo esercizio riguarda le trasformazioni di terne primitive in terne
primitive attraverso le tre matrici presentate. Si richiede di calcolare la terna
ottenuta dopo aver applicato in successione due trasformazioni fissate a
partire da (3, 4, 5), effettuando quindi moltiplicazioni matrice per vettore.
Anche l’esercizio 4 è della tipologia di alcuni esercizi affrontati durante le