Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

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CAPITOLO 1. LEZIONI 20 Figura 1.1: Schema della generazione di terne pitagoriche primitive attraverso le tre trasformazioni.
CAPITOLO 1. LEZIONI 21 ma quella relativa, la quale è il rapporto della differenza assoluta (che è sempre uguale a 1) e la dimensione di uno dei due cateti, le quali aumentano ad ogni passo: 1 1 1 > > > . . . 4 21 120 La differenza relativa si avvicinerà quindi a 0. Con questa osservazione possiamo affermare che i triangoli pitagorici della successione centrale hanno le lunghezze dei cateti sempre più ‘vicine’ tra loro: possiamo vedere questo fatto anche considerando, invece che la differenza, il rapporto tra queste due grandezze: 3 20 119 < < < . . . < 1. 4 21 120 Il rapporto tra i cateti di questi triangoli si avvicina sempre di più a 1, ovvero la ‘differenza relativa’ tra numeratore e denominatore va sempre diminuendo. conclusione: seguendo la sequenza centrale, la differenza relativa tra le lunghezze dei cateti è sempre più irrilevante e quindi i triangoli si avvicinano sempre di più al triangolo isoscele: anche i due angoli diversi da quello retto saranno sempre più vicini tra loro e si avvicineranno entrambi a π 4 . domanda: può esistere un triangolo pitagorico isoscele? Se esistesse, ed i lati interi. dovrebbe avere gli angoli α = β = π 4 , γ = π 2 Questo triangolo non può esistere perché, se a è intero, c non può esserlo: infatti: c è uguale alla diagonale del quadrato di lato a. Quindi c = √ 2a. c non può essere intero, poiché √ 2 è un numero irrazionale (cioè non può essere scritto come frazione, quindi non può valere: c a = √ 2, con c, a interi). Nella sequenza compaiono dunque triangoli che approssimano ‘sempre meglio’ il triangolo rettangolo isoscele, ma non compare mai il triangolo isoscele stesso. domanda: abbiamo visto che il rapporto tra i due cateti si avvicina sempre più a 1. Se invece consideriamo il rapporto tra l’ipotenusa ed un , a quale numero si avvicinerà progressivamente? cateto, c a La successione di questi rapporti si avvicina al rapporto che avremmo se il triangolo fosse isoscele, cioè a √ 2. Questo rapporto, calcolato per le terne della linea centrale, definisce una successione di numeri razionali (poiché sono della forma c a , con a e c interi), i quali sono sempre più vicini a √ 2. Con questa osservazione arriviamo ad UN METODO DI APPROSSIMAZIONE DI √ 2. Essendo √ 2 un numero irrazionale, avrebbe infinite cifre decimali e quindi non è possibile determinarle tutte. Possiamo però utilizzare la precedente im-
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Bibliografia [1] Dan Romik, ‘The
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Ringraziamenti Grazie a tutti color
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