Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 13
Abbiamo visto che ci sono infinite terne pitagoriche, ma per adesso ne
abbiamo trovate solo alcune primitive.
Ce ne saranno altre oltre a queste? Quante saranno in generale le terne
primitive? Limitiamo la nostra ricerca alle terne primitive, in quanto le altre
si possono ricavare tutte facilmente, essendo loro multipli.
Quali osservazioni possiamo fare sulle terne primitive trovate fino ad ora?
Ragioniamo per esempio sulla parità degli interi che ne fanno parte: notiamo
che uno ed uno solo tra a e b è pari, l’altro è dispari e c è sempre
dispari. Sarà ragionevole quindi chiedersi se questa sia una ‘regola generale’.
Sia (a, b, c) una qualsiasi terna primitiva e ragioniamo sulla parità di a, b, c.
- a, b, c non possono essere tutti e tre pari, altrimenti MCD(a, b, c) ≥ 2
e la terna non sarebbe primitiva, come invece abbiamo supposto.
- Non possiamo neanche avere che a e b siano pari e c dispari, poiché
avremmo che la somma di a 2 e b 2 , essendo essi entrambi pari, sarebbe
pari e quindi non potrebbe essere uguale a c 2 , che risulterebbe dispari.
- Concludiamo quindi che a e b non possono essere entrambi pari.
- Supponiamo invece che a, b siano entrambi dispari: anche a 2 e b 2 sarebbero
dispari e a 2 + b 2 = c 2 sarebbe pari. Quindi c sarebbe pari e a , b
e c avrebbero quindi questa forma:
a = 2x + 1, b = 2y + 1, c = 2z (x, y, z ∈ Z).
Poiché (a, b, c) è una terna pitagorica,
(2x + 1) 2 + (2y + 1) 2 = (2z) 2 ,
4x 2 + 4x + 4y 2 + 4y + 2 = 4z 2 ,
dividendo per 2: 2x 2 + 2x + 2y 2 + 2y + 1 = 2z 2 ,
un pari sarebbe uguale ad un dispari ed anche in questo caso abbiamo
un assurdo.
- Possiamo concludere che:
Proposizione 1.4. Se (a, b, c) è una terna pitagorica primitiva, allora uno
ed uno solo tra a e b è pari e l’altro è dispari. Di conseguenza c è sempre
dispari.
Abbiamo trovato quindi una prima condizione necessaria per una terna
affinché essa possa essere una terna pitagorica primitiva.