Tesi di Laurea di Valentina Boccini - Dipartimento di Matematica e ...

CAPITOLO 1. LEZIONI 18
Teorema 1.2. (Barning, 1963)
Ogni terna pitagorica primitiva (a, b, c) (con a dispari e b pari) ha un’unica
rappresentazione come prodotto matriciale:
⎛ ⎞
a
⎛ ⎞
3
⎝b⎠
= Md1Md2.....Mdn
⎝4⎠
;
c
5
n ≥ 0, di = 1, 2, 3.
Ogni terna di questa forma è una terna pitagorica primitiva.
Dalla terna (3, 4, 5) possiamo ottenere cioè tutte le terne pitagoriche primitive
tramite queste trasformazioni.
Diamo un’idea della dimostrazione del teorema. Prendiamo in considerazione
l’insieme delle terne pitagoriche primitive e lo chiamiamo P P T .
Lo scopo è quello di trovare tutte le trasformazioni che, applicate ad una
terna appartenente all’insieme P P T , diano come risultato un’altra terna
appartenente ancora a P P T .
- Inizialmente si analizza una particolare simmetria dell’equazione
a 2 + b 2 = c 2 .
Le simmetrie di un’equazione sono delle funzioni che trasformano ogni
soluzione, cioè in questo caso ogni terna di interi che soddisfa l’equazione,
in un’altra soluzione.
- Applicando la simmetria a terne con tutti e tre gli interi positivi, cioè
appartenenti a P P T , che terne otteniamo? Vediamo che esse hanno
almeno uno tra a e b negativo; effettuiamo quindi ulteriori accorgimenti
alla trasformazione, per rendere positivi questi interi.
- Una terna pitagorica può provenire da altre tre diverse terne, a seconda
delle tre possibili combinazioni dei segni della terna dopo la simmetria:
le tre applicazioni corrispondenti a questo passaggio inverso sono associate
ad M1, M2, M3. Si costruisce uno schema che ripercorre questo
procedimento inverso e si dimostra che in esso sono presenti tutte le
terne di P P T.
- Si dimostra inoltre che la moltiplicazione per M1, M2, o M3 fa aumentare
le dimensioni della terna e porta terne primitive in terne primitive.
Inoltre essa conserva l’ordine della parità; quindi, poiché partiamo
da (3, 4, 5), tutte le terne ottenute avranno a dispari e b pari.