FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.1. Equação de Pfaff P dx + Q dy = 0 9
Comecemos por determinar uma solução arbitrária da equação homogénea:
como por exemplo:
y ′ = −2x y
∫ x
u(x) = e
−2τdτ 1 = e 1−x2
Em seguida, tentamos encontrar uma solução da equação não homogénea, que seja da forma:
y(x) = c(x)u(x)
para alguma função desconhecida c = c(x). Como antes, obtemos:
c ′ = b u =
Integrando esta última equação, vem que:
−x
e 1−x2
= −xe x2 −1
c(x) = − 1 2 ex2 −1 + C
Usando agora y(x) = c(x)u(x) e a condição inicial, obtemos finalmente:
y(x) = − 1 2 + 5 2 e1−x2
• Exemplo 1.1.5 ... Calcular a solução do (P V I) (xo ,y o ), definido por:
{
y ′ = −y + 1
1+x 2
y(2) = 3
Comecemos por determinar uma solução arbitrária da equação homogénea:
como por exemplo:
y ′ = −y
∫ x
u(x) = e
−dτ 2 = e 2−x
Em seguida, tentamos encontrar uma solução da equação não homogénea, que seja da forma:
y(x) = c(x)u(x)
para alguma função desconhecida c = c(x). Como antes, obtemos:
Integrando esta última equação, vem que:
c(x) =
c ′ = b u =
∫ x
2
ex−2
1 + x 2
e τ−2
1 + τ 2 dτ + C
Usando agora y(x) = c(x)u(x) e a condição inicial, obtemos finalmente:
y(x) = 3e 2−x + e 2−x ∫ x
2
e τ−2
1 + τ 2 dτ .