FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.6. PDE de primeira ordem F (x, y, u, p, q) = 0 27
então F (P o ; p, q) = A(P o ) p + B(P o ) q − C(P o ) = 0, e o conjunto dos vectores de coordenadas
(p, q, −1), no espaço tangente T Po IR 3 , que verificam a equação A(P o ) p+B(P o ) q =
C(P o ), formam uma recta situada no plano afim du| Po
= −1, em T Po IR 3 (p e q podem
ser considerados como coordenadas cartesinas nesse plano (figura 1.5)). Neste caso,
F(P o ) é o feixe de planos em T Po IR 3 , cujo eixo é a recta gerada pelo vector característico
(A(P o ), B(P o ), C(P o )), de T Po IR 3 , e o cone de Monge K(P o ) degenera nessa recta característica.
Figure 1.5: Cones de Monge da equação quasi-linear A(x, y, u) p + B(x, y, u) q − C(x, y, u) = 0.
– Se u = u(x, y) é uma solução da PDE (1.6.1), o plano tangente T Po S, ao gráfico S = gr u
em P o = (x o , y o , u(x o , y o )), tem por equação:
u x (x o , y o ) dx| Po
+ u y (x o , y o ) dy| Po
− du| Po
= 0
e é portanto um elemento integral, i.e., é um membro da família F(P o ), que é tangente
ao cone de Monge em P o , ao longo de uma das suas geratrizes.
Como se descreve analìticamente o cone de Monge K(P o )?
Por definição, K(P o ) é a envolvente da família F(P o ), de elementos integrais da equação (1.6.1),
no ponto P o . Geomètricamente, cada geratriz do cone K(P o ), deverá pois ser a posição limite da
linha de intersecção de dois planos da família F(P o ), quando estes se aproximam arbitràriamente
um do outro. Suponhamos que é possível explicitar q como função de p, na equação:
isto é, que existe uma função q = q(p), tal que:
F (x o , y o , u o , p, q) = 0
F (x o , y o , u o , p, q(p)) = 0
Um plano da família F(P o ) pode ser descrito por (omitindo o subíndice P o nas diferenciais):
e um plano próximo deste, por:
p dx + q(p) dy − du = 0
(p + ɛ) dx + q(p + ɛ) dy − du = 0
Os pontos de coordenadas (dx, dy, du), no espaço tangente T Po IR 3 , na intersecção dos planos anteriores,
satisfazem:
ɛ dx + [q(p + ɛ) − q(p)] dy = 0