FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.3. Exercícios e exemplos suplementares 100
vemos que a álgebra de Lie g, gerada por ξ e η é solúvel. De facto, g 1 = [g, g] = IRξ e g 2 =
[g 1 , g 1 ] = {0}. Além disso IRξ é um ideal em g.
(ii). É evidente que f(x, u) = u, g(x, u, p) = p são invariantes de ordem 0 e 1, respectivamente,
funcionalmente independentes, do campo ξ. O método de Lie permite então calcular um invarinate
de ordem 2, através de:
h(x, u, p, q) = D xg
D x f = g x + p g u + q g p
f x + p f u
= q p
Pela teoria geral, pondo: ⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
f(x, u) = u ≡ α
g(x, u, u ′ ) = p ≡ β
D x g
D x f (x, u, u′ , u ′′ ) = q p
≡ γ
vem que:
u = α, p = β, q = pγ = βγ
e a representação invariante de (E) é:
0 = G(α, β, γ) = F (x, α, β, βγ) = βγ − β2
α + α2
e como γ = dβ
dα
, obtemos a ODE de primeira ordem:
β dβ
dα − β2
α + α2 = 0
(iii). As coordenadas (r, s) para as quais φ ∗ ∂ s = ξ = ∂ x são dadas por:
φ(r, s) = (x(r, s) = s, u(r, s) = r)
cujo prolongamento é:
φ (2) (r, s, w, z) =
(
s, r, 1 w , − z )
w
A equação (E) nas novas coordenadas é:
(
0 = F s, r, 1 w , − z )
w
= − z w − 1
w 2 r + r2
e como z = w ′ , onde ′ = d dr : w ′
w + 1
w 2 r − r2 = 0
• • Exercício 2.3.5 ... Considere uma ODE de segunda ordem:
onde F não depende de x.
((E)... F (u, u ′ , u ′′ ) = F (u, p, q) = 0
Mostre que ξ = ∂ x é simetria de (E), e proceda à redução de ordem através dessa simetria.
• • Exercício 2.3.6 ... Considere a ODE de segunda ordem:
onde F não depende de x.
((E)... u ′′ = u′
u 2 − 1
xu
Mostre que ξ = x 2 ∂ x + xy∂ u e η = x∂ x + u 2 ∂ u geram uma álgebra de Lie solúvel de simetrias
da equação ((E) e integre-a usando essa álgebra.