FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais
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3.2. Transformações de contacto no espaço 119<br />
• Exemplo 3.2.1 Transformação de Legendre ... é a transformação por polares recíprocas<br />
relativamente à quádrica (parabolóide):<br />
x 2 + y 2 − 2u = 0<br />
A equação directriz F = 0, é a equação de conjugação entre os pontos a = (x, y, u) e A =<br />
(X, Y, U):<br />
F (x, y, u, X, Y, U) = xX + yY − (u + U) = 0<br />
O sistema (3.2.18) é:<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
xX + yY − (u + U) = 0<br />
X − p = 0<br />
Y − q = 0<br />
Quanto ao sistema (3.2.19), ele é:<br />
{<br />
x − P = 0<br />
y − Q = 0<br />
e a transformação de Legendre é portanto:<br />
⇒<br />
⇒<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
X = p<br />
Y = q<br />
U = xp + yq − u<br />
{<br />
P = x<br />
Q = y<br />
L : (x, y, u, p, q) ↦−→ (X = p, Y = q, U = xp + yq − u, P = x, Q = y) (3.2.22)