FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.4. Simetrias e factores integrantes 17
1.4 Simetrias e factores integrantes
Consideremos novamente uma equação de Pfaff, com duas variáveis x, y:
θ = P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (1.4.1)
onde θ é uma 1-forma que nunca se anula em U ⊆ IR 2 xy. Como já vimos, em cada ponto (x, y) ∈
U ⊆ IR 2 , a equação θ = 0, define uma recta l(x, y) = ker θ (x,y) , no espaço tangente T (x,y) IR 2 ,
perpendicular ao vector P (x, y) ∂
∂x + Q(x, y) ∂ ∂y
. Este campo de linhas pode ser (localmente) gerado
pelo campo de vectores:
Z(x, y) = −Q(x, y) ∂
∂x + P (x, y) ∂ ∂y
(1.4.2)
uma vez que θ(Z) = 0. Calcular as curvas integrais de (1.4.1) é equivalente a calcular as curvas
integrais do campo Z (a menos de reparametrização), e, por sua vez, este problema é equivalente
a calcular um integral primeiro f para o campo Z, isto é, uma solução da PDE:
Zf = −Q(x, y) ∂f + P (x, y)∂f
∂x ∂y = 0 (1.4.3)
As curvas integrais de (1.4.1) são dadas então por f(x, y) ≡ c = constante.
Suponhamos agora que a equação (1.4.1) admite uma simetria (infinitesimal) não trivial X, da
forma:
X = ξ(x, y) ∂
∂x + η(x, y) ∂ (1.4.4)
∂y
Então, por definição:
[X, Z] = λ Z,
λ ∈ C ∞ (IR 2 xy)
mas θ(X) ≠ 0. É fácil ver que, se f é um integral primeiro do campo Z, então Xf é também um
integral primeiro do campo Z. De facto:
e portanto, como vimos na secção anterior:
0 = [X, Z] f = XZf − ZXf = −Z(Xf)
Xf = F (f)
onde F (f) não pode anular-se, já que a simetria X é não trivial. Além disso, por uma escolha
conveniente desta função F , podemos até supôr que:
Xf = 1
De facto, se f é um integral primeiro de Z, também o é G(f), para qualquer função G que nunca se
anule, uma vez que ZG(f) = G ′ (f)Zf = 0. Como XG(f) = G ′ (f)X(f) = G ′ (f)F (f), escolhendo
G ′ (f), de tal forma a que G ′ = 1/F , virá XG(f) = 1, e basta então substituir f por G(f).
Desta forma, obtemos as duas equações seguintes:
{
Zf = −Q fx + P f y = 0
Xf = ξ f x + η f y = 1
(1.4.5)
donde se deduz que:
isto é:
f x =
P
ξP + ηQ
f y =
Q
ξP + ηQ
(1.4.6)
µ = 1
θ(X) = 1
ξP +ηQ
(1.4.7)