FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

3.1. Geometria da equação F (x, u, u x ) = 0. 108
onde p = (p 1 , · · · , p n ) ∈ IR n . O hiperplano H m é pois perpendicular ao vector (p, −1) = (p 1 , · · · , p n , −1) ∈
IR n+1 .
Isto leva-nos a considerar o espaço J 1 (IR n ; IR) dos elementos de contacto regulares de IR n+1
x i u ,
que não é mais do que IR 2n+1 = IR 2n+1
x i up i
. A equação (3.1.1) define portanto uma hipersuperfície
neste espaço, dada por:
Σ = {(x, u, p) ∈ IR 2n+1 : F (x, u, p) = 0 } (3.1.3)
(Estamos a supôr que 0 é valor regular de F , i.e., que dF | Σ ≠ 0).
Consideremos agora a projecção canónica π : IR 2n+1 → IR n+1 , dada por:
π : IR 2n+1 −→ IR n+1
c = (m, H m ) = (x, u, p) ↦−→ m = (x, u)
(3.1.4)
que a cada elemento de contacto c = (m, H m ) associa o respectivo suporte m. Existe uma distribuição
de 2n-planos Π : c ↦→ Π c ⊂ T c IR 2n+1 , canònicamente definida em IR 2n+1 , da seguinte
forma - um vector tangente ξ ∈ T c IR 2n+1 , onde c = (m, H m ), pertence ao 2n-plano Π c se e só se
π ∗ (ξ) ∈ H m (ver figura 2.2), isto é:
Π c = π −1
∗ (H m ) ⊂ T c IR 2n+1 , c = (m, l m ) (3.1.5)
Como o n-plano H m é dado pela equação (3.1.2), deduzimos que um vector ξ ∈ T c IR 2n+1 está
em Π c sse (du − p · dx)(π ∗ ξ) = 0, isto é, sse π ∗ (du − p · dx)(ξ) = (du − p · dx)(ξ) = 0, e portanto
Π fica definida pela 1-forma:
ω = du − p · dx = du − ∑ n
i=1 p i dx i (3.1.6)
em IR 2n+1 , a que chamamos forma de contacto em IR 2n+1 . À distribuição de 2n-planos Π =
ker ω, chamamos a distribuição de contacto em IR 2n+1 .
Figure 3.2: Distribuição de contacto em em IR 2n+1 .
O espaço J 1 (IR n ; IR) pode também ser definido como o espaço dos 1-jactos de funções u =
f(x), que identificamos com o espaço IR 2n+1 , munido das coordenadas (x, u, p). Duas funções
diferenciáveis u = f(x) ∣ e u = ∣ g(x) definem o mesmo 1-jacto num ponto x 0 ∈ IR n , se e só se
f(x 0 ) = g(x 0 ) e ∂f ∣∣x=x0
= ∂g ∣∣x=x0
, ∀i = 1, · · · , n. Portanto um 1-jacto de função u = f(x), num
∂x i ∂x i
ponto x 0 ∈ IR n , fica definido por n + 1 dados - as coordenadas do ponto x 0 , o∣ valor u 0 de u = f(x)
em x 0 e, finalmente, os valores das derivadas parciais de primeira ordem ∂f ∣∣x=x0
, i = 1, · · · , n.
∂x i
Dada uma função diferenciável u = f(x), podemos definir o seu 1-gráfico como sendo a variedade
de dimensão n, imersa em J 1 (IR n ; IR) = IR 2n+1
x i up i
e parametrizada por:
(
j 1 (f)(x 1 , · · · , x n ) = x 1 , · · · , x n , f(x 1 , · · · , x n ), ∂f
)
∂x i (x1 , · · · , x n )
(3.1.7)
Note que:
L f
def
= j 1 (f)(IR n )