FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 75
• Exemplo 2.1.12 ... O campo de vectores X = ∂
∂x é de contacto, uma vez que L Xω =
L X (du−p dx) = d(Xu)−p d(Xx) = 0. A função geradora é f = ω(X) = −p. Anàlogamente,
Y = ∂
∂u é de contacto, com função geradora g = ω(Y ) = 1. Mas ∂ ∂p
não é de contacto.
• Exemplo 2.1.13 ... Um campo de vectores:
ξ = a(x, u) ∂ ∂
+ b(x, u)
∂x ∂u ∈ X ( )
IR 2 xu
(2.1.47)
no espaço de configuração, pode ser levantado a um campo de contacto X = ξ (1) ∈ X(J 1 ), da
seguinte forma. Seja Φ ξ (
τ o fluxo (local) de ξ. Então o levantamento Φ τ = Φ ξ ) (1)
τ , constitui
um fluxo (local) de transformações de contacto em J 1 . O campo ξ (1) , não é mais do que o
gerador infinitesimal deste fluxo, isto é:
ξ (1) (c)
def d
=
dτ ∣
(Φ ξ ) (1)
τ (c), c ∈ J 1 (2.1.48)
τ=0
Suponhamos que o fluxo (local) de ξ é dado por:
onde:
∂
∂τ ∣ X(x, u; τ) = a(x, u)
τ=0
e ainda:
Φ ξ τ (x, u) = (X(x, u; τ), U(x, u; τ))
e
∂
∂τ ∣ U(x, u; τ) = b(x, u), ∀(x, u) (2.1.49)
τ=0
X(x, u; 0) = x e U(x, u; 0) = u ∀(x, u) (2.1.50)
Atendendo à fórmula (2.1.25), o levantamento de cada Φ ξ τ , é dado por:
(
Φ ξ ) (1)
τ (x, u, p) =
(X = X(x, u; τ), U = U(x, u; τ), P = P (x, u, p; τ) = U )
x(x, u; τ) + p U u (x, u; τ)
X x (x, u; τ) + p X u (x, u; τ)
onde pusemos ∂U
∂x = U x, etc.... Derivando em ordem a τ, para τ = 0, e atendendo a (2.1.49)
e (2.1.50), obtemos que:
∂
∂τ ∣ P (x, u, p; τ) = ∂
U x (x, u; τ) + p U u (x, u; τ)
τ=0 ∂τ ∣ τ=0 X x (x, u; τ) + p X u (x, u; τ)
= b x + (b u − a x ) p − a u p 2
e portanto o campo de contacto X = ξ (1) ∈ X(J 1 ), é dado por:
A função geradora deste campo é:
linear em p, portanto.
ξ (1) = a(x, u) ∂
∂
∂x
+ b(x, u)
∂u + [b x + (b u − a x ) p − a u p 2 ] ∂ ∂p
(2.1.51)
f = ω(ξ (1) )
(
= (du − p dx) a ∂
∂x + b ∂
∂u + (b x + (b u − a x ) p − a u p 2 ) ∂ )
∂p
= b(x, u) − a(x, u) p (2.1.52)