FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

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1.7. Apêndice 37 1.7 Apêndice 1.7.1 Grupos a um parâmetro de difeomorfismos e geradores infinitesimais Um fluxo (global) em IR n , é uma aplicação C ∞ : que verifica as duas condições seguintes: Φ : IR × IR n −→ IR n (1.7.1) Φ(0, x) = x Φ(τ, Φ(η, x)) = Φ(τ + η, x) (1.7.2) ∀τ, η ∈ IR, ∀x ∈ IR n . Alternativamente um fluxo Φ em IR n , pode ser visto como um grupo a um parâmetro de difeomorfismos de IR n , isto é, como um homomorfismo do grupo aditivo (IR, +) no grupo Diff(IR n ) dos difeomorfismos de IR n : que verifica as condições seguintes: Φ : IR −→ Diff(IR n ) τ ↦−→ Φ τ Φ 0 = Id IR n Φ τ ◦ Φ η = Φ τ+η Φ −τ = Φ −1 τ (1.7.3) Para cada τ ∈ IR fixo, o difeomorfismo Φ τ : IR n → IR n diz-se a “aplicação de avanço no tempo τ”. Para cada x ∈ IR n , a curva: α x : IR −→ IR n τ ↦−→ α x (τ) def = Φ τ (x) (1.7.4) chama-se a linha de fluxo ou curva integral que passa em x. A imagem α x (IR) ⊂ IR n diz-se a órbita de x. Por cada ponto x ∈ IR n passa uma única órbita. De facto a relação x ∼ y ⇔ y = Φ τ (x), para algum τ ∈ IR, é uma relação de equivalência em IR n , cujas classes de equivalência são exactamente as órbitas do fluxo. Por outro lado, é possível mostrar que uma linha de fluxo apenas pode ser de um e um só dos seguintes tipos: • uma imersão injectiva. • uma imersão periódica, i.e., α x : IR → IR n é imersão e existe algum p > 0 tal que α x (τ +p) = α x (η), ∀τ ∈ IR. • constante. Neste caso α x (τ) ≡ x, ∀τ ∈ IR diz-se um ponto fixo. Quando temos um fluxo em IR n e U é um aberto de IR n , em geral as linhas de fluxo dos pontos de U não permanecem em U quando o “tempo” τ avança. No entanto, por continuidade, podemos afirmar que dado x ∈ U, a linha de fluxo α x deve permanecer em U durante algum pequeno intervalo de tempo I x ⊂ IR com 0 ∈ I x . Isto conduz-nos à seguinte definição: • Definição 1.7.1 ... Um fluxo local ou um grupo local a um parâmetro de difeomorfismos em IR n , é uma aplicação C ∞ : Φ : O ⊆ IR × IR n −→ IR n (1.7.5) definida num aberto O ⊆ IR × IR n , que verifica as condições seguintes (ver a figura 1.7):
1.7. Apêndice 38 – O contem {0}×IR n e para cada x ∈ IR n , a intersecção I x def = O ∩(IR×{x}) é conexa. – Φ satisfaz: Φ(0, x) = x ∀τ, η, x para os quais ambos os membros estão definidos. Φ(τ, Φ(η, x)) = Φ(τ + η, x) (1.7.6) Figure 1.7: Fluxo local Claramente que um fluxo local para o qual O = IR × IR n é um fluxo (global). Note que para um fluxo local não podemos em geral falar do difeomorfismo Φ τ uma vez que para um τ ≠ 0 fixo, a aplicação x ↦→ Φ τ (x) pode não estar definida em todo o IR n . A linha de fluxo α x : τ ↦→ α x (τ) = Φ τ (x) que passa em x, agora está definida num intervalo aberto I x = O ∩ (IR × {x}) de IR que contem 0. • Exemplo 1.7.1 ... O fluxo em IR 2 dado por: Φ : IR × IR 2 −→ IR 2 (τ, (x, y)) ↦−→ Φ (τ, (x, y)) = (x + τ, y) é global. Mas não podemos definir um fluxo global em U = IR 2 − {0}, por restrição de Φ a IR × U, uma vez que os pontos do conjunto fechado F = {(τ, (x, 0)) : τ + x = 0} = Φ −1 (0, 0) são transformados por Φ em (0, 0). No entanto se definirmos o aberto O = (IR × U) − (F ∩ (IR × U)) então Φ = Φ| O é um fluxo local em U. Para cada ponto x = (x, y) ∈ U, com y ≠ 0, a respectiva órbita (a imagem da linha de fluxo τ ↦→ α x (τ) = Φ τ (x) é a recta y ≡ constante em U. Se x = (x, 0) ∈ U, a respectiva órbita é a parte do eixo dos xx (menos a origem) que contem x. Esta linha de fluxo não está definida em todo o IR. • Exemplo 1.7.2 ... Se IR 2 = C e Φ : IR × C → C, o fluxo Φ(t, z) = e it z é global. 0 ∈ C é ponto fixo e as outras órbitas são circunferências concêntricas centra<strong>das</strong> na origem. .
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Bibliography [1] V. Arnold, “Chap
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