FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 76
• Exemplo 2.1.14 ... Suponhamos que ξ é a rotação infinitesimal no plano de configuração
IR 2 xu:
ξ = −u ∂
∂x + x ∂
∂u
Então, o respectivo levantamento a J 1 , é o campo de contacto:
ξ (1) = −u ∂
∂x + x ∂
∂u + (1 + p2 ) ∂ ∂p
(2.1.53)
• Exemplo 2.1.15 ... Suponhamos que ξ é uma mudança de escala infinitesimal no plano
de configuração IR 2 xu, dada por:
ξ = rx ∂
∂x + su ∂
∂u
(onde r, s ∈ IR − {0} são escalares fixos). Então, o respectivo levantamento a J 1 , é o campo
de contacto:
ξ (1) = rx ∂
∂x + su ∂
∂u + (s − r) ∂ (2.1.54)
∂p
• Exemplo 2.1.16 ... Se ξ = xu ∂
∂x + u2 ∂
∂u , o respectivo levantamento a J 1 , é o campo de
contacto:
ξ (1) = xu ∂
∂x + ∂
u2 ∂u + (u − xp) p ∂ (2.1.55)
∂p
2.1.5 Simetrias e simetrias infinitesimais de ODE’s de primeira ordem
Consideremos de novo uma ODE de primeira ordem:
F (x, u, u ′ ) = 0
e a superfície associada Σ = {F = 0} ⊂ J 1 (IR; IR), munida da distribuição característica C Σ .
Recorde que uma curva integral de C Σ , contida em Σ, diz-se uma solução generalizada da
equação Σ.
Definição 2.1.1 ...
• Uma transformação (local) de contacto Φ : J 1 (IR; IR) → J 1 (IR; IR) diz-se uma simetria
finita de contacto (local) da equação Σ = {F = 0} ⊂ J 1 (IR; IR), se Φ(Σ) = Σ, ou de forma
equivalente, se:
Φ ∗ def
(F ) = F ◦ Φ = µ F (2.1.56)
para alguma função µ ∈ C ∞ (J 1 ), que nunca se anule.
• Um campo de contacto X ∈ X(J 1 ), diz-se uma simetria infinitesimal de contacto, ou
simplesmente uma simetria da equação Σ = {F = 0} ⊂ J 1 (IR; IR), se X é tangente a SS,
ou de forma equivalente, se:
dF (X) = XF = λ F (2.1.57)
para alguma função λ ∈ C ∞ (J 1 ).