FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

3.2. Transformações de contacto no espaço 115
• Jac S(α, β) tem característica igual a 1, para todo o (α, β) ∈ U. Suponhamos por exemplo
que x α ≠ 0. O ponto (x, y, u) descreve então uma curva em IR 3 xyu, que pode ser parametrizada
por x:
x ↦−→ (y = f(x), u = g(x))
As equações (3.2.7), dão: {
(g ′ − p − q f ′ ) x α = 0
(g ′ − p − q f ′ ) x β = 0
e uma vez que x ′ α ≠ 0, deduzimos que g ′ − p − q f ′ = 0, isto é (p, q, −1) · (1, f ′ , g ′ ) = 0, o que
significa que o plano do elemento deve ser tangente à curva.
Diremos neste caso, que a 2- faixa de contacto é de tipo I - o seu suporte é uma curva
imersa no espaço de configuração IR 3 xyu, e a 2-faixa é constituída pelos pontos dessa curva
juntamente com todos os planos tangentes à curva (ver a figura 3.3).
• Jac S(α, β) tem característica igual a 0, para todo o (α, β) ∈ U. O ponto (x, y, u) estará fixo,
e as equações (3.2.2) não permitem determinar p e q, que serão por isso duas funções arbitrárias
de α e β.
Diremos neste caso, que a 2- faixa de contacto é de tipo 0 - o seu suporte é um ponto
fixo no espaço de configuração IR 3 xyu, e a 2-faixa é constituída por esse ponto juntamente com
todos os planos que o contêm (ver a figura 3.3).
Figure 3.3: 2- faixas de contacto no espaço.
A introdução do conceito de 2-faixa de contacto, como generalização do conceito de superfície e
respectivos planos tangentes, juntamente com o de transformação de contacto, permitiu a Sophus
Lie uma profunda unidade no tratamento das equações diferenciais (ordinárias e parciais), para
além, evidentemente, do interesse puramente geométrico de tais transformações, que permitiram
estabelecer laços profundos e inesperados, de uma elegância e clareza notáveis, entre as propriedades
geométricas das linhas e das superfícies.
Um difeomorfismo (local) Φ : J 1 (IR 2 ; IR) → J 1 (IR 2 ; IR) diz-se uma transformação (local) de
contacto, se Φ preserva a distribuição de contacto Π, isto é:
dΦ c (Π c ) = Π Φ(c) (3.2.10)
ou de forma equivalente:
Φ ∗ (ω) = λ ω (3.2.11)
para alguma função λ ∈ C ∞ (J 1 (IR 2 ; IR)), que nunca se anula.
simetria (finita) da distribuição de contacto.
Por outras palavras, Φ é uma