FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

3.2. Transformações de contacto no espaço 114
que significam que (U, Φ) é uma variedade integral da distribuição de contacto.
Mais geralmente, uma faixa de contacto de dimensão 2, ou simplesmente uma 2-faixa de
contacto, no espaço de configuração IR 3 xyu, é, por definição, uma superfície imersa em J 1 (IR 2 ; IR),
definida num aberto U ⊆ IR 2 αβ , de um certo espaço dos parâmetros α, β:
F : U ⊆ IR 2 αβ ↦−→ J 1 (IR 2 ; IR) = IR
⎧
5 xyupq
x = x(α, β)
⎪⎨ y = y(α, β)
(α, β) ↦−→ F(α, β) = u = u(α, β)
p = p(α, β)
⎪⎩
q = q(α, β)
(3.2.5)
e que satisfaz a condição:
isto é:
F ∗ ω = 0 (3.2.6)
{
uα − p x α − q y α = 0
u β − p x β − q y β = 0
(3.2.7)
Portanto, F é uma variedade de Legendre da distribuição de contacto, isto é, uma variedade
integral de dimensão máxima (igual a 2, neste caso). Ao subconjunto no espaço de configuração,
parametrizado por (α, β):
S = (π ◦ F) : (α, β) ↦−→ (x(α, β), y(α, β), u(α, β)) (3.2.8)
chama-se o suporte da 2-faixa de contacto F.
Vejamos como são as 2-faixas de contacto, isto é, as soluções das equações (3.2.7 ) (ou equivalentemente
de (3.2.6)), que são da forma (3.2.5).
Para isso, consideremos a matriz Jacobiana de S:
Jac S(α, β) =
e analisemos os três casos seguintes:
[
S α S β
]
=
⎡
⎢
⎣
x α
y α
u α
⎤
x β
⎥
y β ⎦ (3.2.9)
u β
• Jac S(α, β) tem característica máxima, igual a 2, para todo o (α, β) ∈ U. Então pelo menos
um dos menores de ordem 2 será ≠ 0. Suponhamos por exemplo que:
∣ ∣
∂(x, y) ∣∣∣∣
∂(α, β) = x α x ∣∣∣∣ β ≠ 0
y α y β
Neste caso, podemos resolver as duas primeiras equações em (3.2.5), x = x(α, β) e y = y(α, β),
em ordem a α e β, como funções de x e y, substituir o resultado em u = u(α, β), e concluir
que o ponto (x, y, u) descreve uma superfície. Quanto a p(α, β) e q(α, β), eles ficam definidos
pelas equações (3.2.7), o que significa que eles são exactamente os coeficientes angulares do
plano tangente à referida superfície.
Diremos neste caso, que a 2- faixa de contacto é de tipo II - o seu suporte é uma superfície
imersa no espaço de configuração IR 3 xyu, e a 2-faixa é constituída pelos pontos dessa superfície
juntamente com todos os seus planos tangentes (ver a figura 3.3).