FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 86
o que significa que:
h(x, u, u ′ , u ′′ ) = D xg
D x f = g x + u ′ g u + u ′′ g u ′
f x + u ′ (2.2.25)
f u
é um invariante diferencial de ordem 2, funcionalmente independente a f e g.
• Exemplo 2.2.2 ... Consideremos o grupo a um parâmetro de homotetias, em IR 2 xu, dado
por:
Φ τ (x, u) = (e τ x, e τ u)
cujo gerador infinitesimal é:
Aqui a = x e b = u, e:
ξ(x, u) = x ∂
∂x + u ∂
∂u
(2.2.26)
c = c(x, u, u ′ ) = D x b − u ′ D x a
= 0
d = d(x, u, u ′ , u ′′ ) = D x c − u ′′ D x a
= −u ′′ (2.2.27)
Portanto, os prolongamentos de ξ a J 1 e J 2 , são dados respectivamente por:
ξ (1) = x ∂
∂x + u ∂
∂u
ξ (2) = x ∂
∂x + u ∂
∂u − u′′
Os invariantes de ordem 0, são as soluções F = F (x, u) da PDE:
ξF = x ∂F
∂x + u ∂F
∂u = 0
cujas características são dadas por:
dx
x = du u
e a solução geral é:
F = F ( )
u
x
Os invariantes de ordem 1, são as soluções F = F (x, u, u ′ ) da PDE:
ξ (1) F = x ∂F
∂x + u ∂F
∂u = 0
cujas características são dadas por:
e a solução geral é:
dx
x = du u = du′
0
(2.2.28)
∂
∂u ′′ (2.2.29)
(2.2.30)
F = F ( u
x , u′) (2.2.31)
Finalmente, os invariantes de ordem 2, são as soluções F = F (x, u, u ′ , u ′′ ) da PDE:
ξ (2) F = x ∂F
∂x + u ∂F
∂u − ∂F
u′′
∂u ′′ = 0
cujas características são dadas por:
e a solução geral é:
dx
x = du u = du′
0 = du′′
−u ′′
F = F ( u
x , u′ , xu ′′) (2.2.32)