FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.5. PDE quasi-linear de primeira ordem A u x + B u y = C. 20
1.5 PDE quasi-linear de primeira ordem A u x + B u y = C.
Consideremos a equação às derivadas parciais, quasi-linear de primeira ordem:
A(x, y, u) u x + B(x, y, u) u y = C(x, y, u) (1.5.1)
onde supômos que A, B, C são funções de classe C ∞ , num aberto U ⊆ IR 3 x,y,u, que nunca se anulam
simultâneamente em U.
Consideremos o gráfico S = gr u, de uma solução u = u(x, y) da equação (1.5.1). S diz-se uma
superfície integral da equação (1.5.1). O plano tangente T P S, a S num ponto P = (x, y, u(x, y)) ∈
S, é o plano de T P IR 3 , perpendicular ao vector:
∂
u x
∂
∂x∣ + u y
P ∂y ∣ − ∂
P ∂u∣ onde P = (x, y, u = u(x, y)) (1.5.2)
P
Se considerarmos também a recta l P , em T P IR 3 , gerada pelo vector característico:
Z = A
∂
∂x∣ + B
∂ P ∂y ∣ + C
∂
P ∂u∣ (1.5.3)
P
a chamada a recta característica em P , então a equação (1.5.1) traduz o facto geométrico de
que a recta característica l P pertence ao plano T P S, isto é:
(u x , u y , −1) · (A, B, C) = 0
Portanto o problema da integração da equação pode ser formulado geomètricamente da seguinte
forma:
• “A equação (1.5.1) associa, a cada ponto P = (x, y, u) ∈ IR 3 , uma recta característica l P , em
T P IR 3 , gerada pelo vector (1.5.3). Integrar essa equação é determinar uma superfície integral
S, que seja o gráfico de uma função u = u(x, y), e que, em cada um dos seus pontos P ∈ S,
o respectivo plano tangente T P S, contenha a recta característica l P .”
Esta formulação geométrica leva-nos a considerar as curvas integrais do campo de rectas características
{l P } - as chamadas curvas características da equação (1.5.1), que são dadas pelas
equações diferenciais:
dx
A = dy
B = du
C
(1.5.4)
que exprimem a colinearidade do vector tangente à curva característica, com a recta característica.
Toda a superfície integral S é gerada por curvas características.
Suponhamos que integramos as equações diferenciais (1.5.4), e que a família de curvas características
é dada implìcitamente por:
{
f(x, y, u) = a
(1.5.5)
g(x, y, u) = b
onde a, b ∈ IR são constantes arbitrárias, e f e g são dois integrais primeiros, funcionalmente
independentes do campo característico (1.5.3). A família de curvas características depende pois de
dois parâmetros a, b e formam uma congruência de curvas em IR 3 x,y,u. Para obter uma superfície
integral gerada por essas características, devemos estabelecer uma relação arbitrária entre os dois
parâmetros a, b, digamos da forma Ψ(a, b) = 0, e a superfície integral correspondente terá por
equação implícita:
Ψ (f(x, y, u), g(x, y, u)) = 0