FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.4. Simetrias e factores integrantes 19
De facto, adoptando as notações anteriores, podemos escrever a referida equação em forma
de Pfaff:
( y
θ = φ dx − dy = 0
x)
isto é, P (x, y) = φ ( y
x) e Q(x, y) = −1. Portanto, o campo Z é neste caso:
Z = ∂
∂x + φ ( y
x) ∂
∂y
Calculando o comutador, obtemos:
[X, Z] =
[
x ∂
∂x + y ∂ ( ]
∂y , ∂ y ∂
∂x x) + φ ∂y
= −Z
X será uma simetria não trivial desde que θ(X) = −y + xφ ( y ) ≠ 0. A função µ =
1
1
−y+x φ
é factor integrante para θ, e a solução geral da equação dada é:
f =
∫ φ dx − dy
−y + x φ = c
x
θ(X) =
• Exemplo 1.4.3 ... Consideremos de novo a equação linear de primeira ordem não homogénea:
y ′ = a(x) y + b(x) (1.4.9)
que admite a simetria não trivial:
X = φ(x) ∂ ∂y
onde φ(x) é uma solução da correspondente equação homogénea y ′ − a(x) y = 0, isto é:
φ ′ (x) − a(x)φ(x) = 0
De facto, adoptando as notações anteriores, podemos escrever a referida equação em forma
de Pfaff:
θ = (a(x) y + b(x)) dx − dy = 0
isto é, P (x, y) = a(x) y + b(x) e Q(x, y) = −1. Portanto, o campo Z é neste caso:
Z = ∂
∂x + (a(x) y + b(x)) ∂ ∂y
Calculando o comutador, obtemos:
[
[X, Z] = φ(x) ∂ ∂y , ∂
∂x + (a(x) y + b(x)) ∂ ]
∂y
= −(φ ′ − a φ) ∂ ∂y
= 0
X será uma simetria não trivial desde que θ(X) = −φ(x) ≠ 0. A função µ = 1
factor integrante para θ, e a solução geral da equação dada é:
∫ (a(x) y + b(x)) dx − dy
f =
= c
φ
= −1
θ(X) φ
é
.