FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

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1.3. PDE homogénea de primeira ordem Xu = 0. 15 cujo campo característico é: X = X ∂ ∂x + Y ∂ ∂y + Z ∂ ∂z O sistema (1.3.4) tem, neste caso, o aspecto seguinte: dx X(x, y, z) = dy y(x, y, z) = dz Z(x, y, z) (1.3.9) Suponhamos que v = v(x, y, z) e w = w(x, y, z) são duas soluções (isto é, dois integrais primeiros do campo X) funcionalmente independentes desse sistema, e que u = u(x, y, z) é uma terceira solução. Então o sistema de 3 equações homogéneas: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ X u x + Y u y + Z u z = 0 X v x + Y v y + Z v z = 0 X w x + Y w y + Z w z = 0 admite uma solução não trivial (X, Y, Z) ≠ (0, 0, 0) e portanto o seu determinante é nulo: ∣ u x u y u ∣∣∣∣∣∣ z ∂(u, v, w) v x v y v z = ∣ ∂(x, y, z) = 0 w x w y w z No entanto como essa matriz tem característica 2 (as duas últimas linhas são linearmente independentes, já que v e w são funcionalmente independentes), cocluímos, pelo teorema da função implícita, que u = F (v(x, y, z), w(x, y, z)), para alguma função F = F (v, w). As curvas solução do sistema (1.3.9), formam (localmente) uma congruência de curvas em IR 3 , isto é, uma família de curvas que depende de dois parâmetros. • Exemplo 1.3.1 ... Consideremos a equação: Da primeira equação dx x dx x = dy y = = dy y , deduzimos que: y x = c 1 dz xy(z 2 + 1) e portanto a função u 1 (x, y, z) = y x , é um integral primeiro da equação dada, já que satisfaz a PDE: x u x + y u y + xy(z 2 + 1) u z = 0 (1.3.10) Para obter um segundo integral primeiro, substituimos y/x = c 1 , na equação : para obter: cuja integração dá: Substituindo c 1 = y/x, obtemos: dx x = dx x = dz xy(z 2 + 1) dz c 1 x 2 (z 2 + 1) c 1 x 2 2 = arc tg z + c 2 1 2 xy − arc tg z = c 2 É fácil verificar que u 2 (x, y, z) = 1 2 xy − arc tg z verifica a PDE (1.3.10), e que, além disso, é funcionalmente independente de u 1 .
1.3. PDE homogénea de primeira ordem Xu = 0. 16 • Exemplo 1.3.2 ... Consideremos a equação: dx y + z = dy y = dz x − y Adicionando os numeradores e denominadores da primeira e última fracções, obtemos d(x+z) x+z , que igualamos à segunda, para obter: d(x + z) x + z = dy y A solução geral desta equação é: u 1 = x + z y = c 1 que é um integral primeiro da equação dada, já que satisfaz a PDE: (y + z) u x + y u y + (x − y) u z = 0 (1.3.11) Para obter um segundo integral primeiro, subtraímos os numeradores e denominadores <strong>das</strong> duas primeiras fracções, que igualamos à terceira, para obter: d(x − y) z = dz x − y A solução geral desta equação é: u 2 = (x − y) 2 − z 2 = c 2 que é também um integral primeiro da equação dada, já que satisfaz a PDE (1.3.11). • Exemplo 1.3.3 ... Consideremos a PDE: que é da forma (1.3.2), com: x u x + y u y + z u z = 0 X = x ∂ ∂x + y ∂ ∂y + z ∂ ∂z O sistema característico (1.3.4), associado à PDE dada, é: É fácil ver que: dx x = dy y = dz z u 1 = y x = c 1 e u 2 = z x = c 2 são dois integrais, funcionalmente independentes, da equação dada. Portanto a solução geral é da forma: ( y u = F x x) , z onde F é uma função arbitrária.
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3.2. Transformações de contacto n
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Bibliography [1] V. Arnold, “Chap
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