FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.2. PDE de primeira ordem linear P u x + Q u y = R u + S. 10
1.2 PDE de primeira ordem linear P u x + Q u y = R u + S.
Consideremos a PDE linear de primeira ordem:
P (x, y) u x + Q(x, y) u y = R(x, y) u + S(x, y) (1.2.1)
onde P, Q, R, S são funções de classe C ∞ , num aberto de U ⊆ IR 2 .
O campo de vectores:
Z(x, y) = P (x, y) ∂
∂x + Q(x, y) ∂ ∂y
(1.2.2)
diz-se o campo característico da equação (1.2.1), e as respectivas curvas integrais dizem-se as
curvas características dessa mesma equação. Portanto, uma curva α : τ ↦→ (x(τ), y(τ)), é uma
curva característica da equação (1.2.1), sse:
{
x ′ (τ) = P (x(τ), y(τ))
y ′ (τ) = Q(x(τ), y(τ))
(1.2.3)
Consideremos agora uma solução u = u(x, y), da equação (1.2.1), e calculemos a derivada de u,
ao longo de uma curva característica α:
du(α(τ))
dτ
= d u(x(τ), y(τ))
dτ
= u x (x(τ), y(τ)) x ′ (τ) + u y (x(τ), y(τ)) y ′ (τ)
= P (x(τ), y(τ)) u x (x(τ), y(τ)) + Q(x(τ), y(τ)) u y (x(τ), y(τ)), por (1.2.3)
= R(x(τ), y(τ)) u(α(τ)) + S(x(τ), y(τ)), uma vez que u é solução de (1.2.1)
= R(α(τ)) u(α(τ)) + S(α(τ))
Concluímos portanto que, dada uma curva característica fixa τ ↦→ α(τ), e uma solução u =
u(x, y), da equação (1.2.1), a função composta u ◦ α, deverá satisfazer a ODE de primeira ordem:
du(α(τ))
dτ
= R(α(τ)) u(α(τ)) + S(α(τ)) (1.2.4)
Por consequência, u ◦ α fica unìvocamente determinada, uma vez especificado o valor inicial
u(α(τ o )). Por outras palavras, uma vez especificado o valor u(x o , y o ), para uma solução u da
equação (1.2.1), essa solução fica completamente determinada ao longo da curva característica α,
que passa em (x o , y o ) (ver a figura 1.2).
Figure 1.2: Curva característica.