FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 41
A equação diferencial correspondente a este grupo a um parâmetro de difeomorfismos, tem a
forma seguinte (com notação simplificada):
(x ′ , y ′ , z ′ ) = X(x, y, z) = (y, −x, 1)
Podemos ainda escrever esta equação diferencial, na forma matricial seguinte:
⎡
x ′ ⎤ ⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
0 1 0 x 0
⎢
⎣ y ′ ⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎦ = ⎣ −1 0 0 ⎦ ⎣ y ⎦ + ⎣ 0 ⎦
z ′ 0 0 0 z 1
• Exemplo 1.7.5 ... Consideremos os campos em IR 2 do tipo:
X(x, y) = ax ∂
∂x + by ∂ ∂y
O respectivo grupo a um parâmetro de difeomorfismos global é:
Φ X τ (x, y) = (e aτ x, e bτ y)
• Exemplo 1.7.6 ... Consideremos o campo em IR 2 :
X(x, y) = (ax − cy) ∂
∂
∂x
+ (cx + ay)
∂y
O respectivo grupo a um parâmetro de difeomorfismos global é:
[ ] [
Φ X τ (x, y) = e aτ cos(cτ) − sin(cτ) x
sin(cτ) cos(cτ) y
]
é a composta de uma homotetia de razão e aτ com uma rotação de centro 0 e ângulo cτ.
.
Um campo de vectores X ∈ X(IR n ) define uma derivação da álgebra C ∞ (IR n ), i.e., uma aplicação
IR-linear:
X : C ∞ (IR n ) → C ∞ (IR n )
definida por:
que verifica:
(Xf)(x)
e que é local, no sentido em que:
def
= X x (f) = df x (X(x)), x ∈ IR n (1.7.9)
X(fg) = fX(g) + gX(f) (1.7.10)
X| U (f| U ) = (Xf)| U (1.7.11)
Recíprocamente, é possível provar que toda a derivação D em C ∞ (IR n ) que satisfaz (1.7.11), define
um campo de vectores em X(IR n ).
Se X, Y ∈ X(IR n ) são vistos como derivações em C ∞ (IR n ), então:
[X, Y]
def
= XY − YX (parêntisis de Lie de X e Y) (1.7.12)