FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

3.1. Geometria da equação F (x, u, u x ) = 0. 109
é uma variedade de Legendre em J 1 (IR n , IR), isto é, uma variedade integral, de dimensão máxima
n, da distribuição de contacto Π. De facto:
)
n∑
j 1 (f) ∗ (ω) = j 1 (f)
(du ∗ − p i dx i
i=1
n∑ ∂f
= df −
∂x
i=1
i dxi
= 0
Além disso, esta variedade satisfaz a condição de independência seguinte:
dx 1 ∧ · · · dx n∣ ∣
∣Lf ≠ 0 (3.1.8)
Recìprocamente, toda a variedade integral da distribuição de contacto Π = ker ω, que satisfaz a
condição de independência anterior, é o 1-gráfico de uma função u = f(x).
A distribuição de contacto Π = ker ω, admite outras variedades de Legendre. Por exemplo:
• as fibras da projecção (3.1.4): π : (m, H m ) ↦→ m.
• seja S ⊂ IR n+1 , uma subvariedade de dimensão k (onde 1 ≤ k ≤ n), no espaço de configuração
x i u
IR n+1 , e consideremos a variedade:
x i u
L S
def
= {(m, H m ) ∈ J 1 (IR n , IR) : m ∈ S e H m ⊃ T m S}
L S é uma variedade de Legendre em J 1 (IR n , IR).
As variedades de Legendre são variedades integrais da distribuição de contacto Π = ker ω, de dimensão
máxima, igual a n. Π = ker ω não admite variedades integrais de dimensão superior a n
1 sãototalmenteisotrópicosrelativamenteàformasimpléticaΩ=dω.Logoadimensãodecadaumdelesé≤
n..
Após estes preliminares, regressemos à interpretação geométrica da equação (3.1.1). Recorde
que a essa equação associamos a superfície
Σ = Σ F = {(x, u, p) ∈ IR 2n+1 : F (x, u, p) = 0 }
em J 1 (IR n ; IR), onde x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ IR n , u ∈ IR e p = u x = (∇u) T =
( ∂u
∂x 1 , · · · , ∂u
∂x n ).
Uma solução (generalizada) da equação (3.1.1), F (x, u, p) = 0, é uma variedade de Legendre
contida em Σ = {F = 0}.
Portanto, do ponto de vista geométrico, o problema da integração da PDE (3.1.1), consiste em
determinar as respectivas soluções generalizadas, isto é, em determinar as variedades de Legendre
da distribuição de contacto, que estão contidas em Σ = {F = 0}. Vamos ver que este problema
reduz-se ao da integração de um sistema de ODE’s, chamado o sistema característico associado
à PDE (3.1.1).
1 De facto, se ϕ : L → J 1 é uma variedade integral de ω, então ϕ ∗ ω = 0 e portanto ϕ ∗ (dω) = d(ϕ ∗ ω) = 0, o que
significa que os espaços tangentes de
L