FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

3.2. Transformações de contacto no espaço 113
Portanto (3.1.25) tem a forma:
donde:
e (3.1.26) dá então:
d
dt q(t) = − d H(t, x(t), p(t))
dt
q(t) + H(t, x(t), p(t)) ≡ E (= constante)
u ′ = E − H(t, x(t), p(t)) + p · H p (t, x(t), p(t)) (3.1.27)
Isto permite substituir o sistema (3.1.23), pelo sistema equivalente:
⎧
x
⎪⎨
′ = H p (t, x, p)
p ′ = −H x (t, x, p)
H t (t, x, p) = E (= constante)
⎪⎩
u ′ = E − H(t, x, p) + p · H p (t, x, p)
(3.1.28)
Escolhendo apropriadamente o valor inicial da variável q, podemos até supôr que E = 0, o
que simplifica ainda mais o sistema.
3.2 Transformações de contacto no espaço
Diremos que um elemento de contacto c = (m, H m ), no espaço de configuração IR 3 = IR 3 xyu, pertence
a uma superfície S ⊂ IR 3 , quando o seu suporte m pertence a S, e o seu plano H m é tangente a
S em m. O elemento de contacto c = (m, H m ), pertencerá a uma curva C ⊂ IR 3 , se o seu suporte
m pertence a C, e o seu plano H m é tangente a C em m. Finalmente, um elemento de contacto
pertence a um ponto m ∈ IR 3 , se este é o seu suporte.
Suponhamos que uma superfície, mergulhada em IR 3 xyu, é representada paramètricamente por:
φ : (α, β) ↦−→ (x = x(α, β), y = y(α, β), u = u(α, β)) (3.2.1)
onde (α, β) ∈ U ⊆ IR 2 αβ . Então as coordenadas (p(α, β), q(α, β)) do plano tangente a S, no ponto
φ(α, β), verificam as equações:
{
uα − p(α, β) x α − q(α, β) y α = 0
(3.2.2)
u β − p(α, β) x β − q(α, β) y β = 0
uma vez que esse plano é gerado pelos dois vectores φ α = (x α , y α , u α ) e φ β = (x β , y β , u β ), e é
também o plano perpendicular a (p(α, β), q(α, β), −1). Estas equações são equivalentes à equação
única:
onde:
0 = (Φ) ∗ (ω)
= (Φ) ∗ (du − p dx − q dy)
= du(α, β) − p(α, β) dx(α, β) − q(α, β) dy(α, β)
= (u α − p x α − q y α ) dα + (u β − p x β − q y β ) dβ (3.2.3)
Φ(α, β) = (x = x(α, β), y = y(α, β), u = u(α, β), p = p(α, β), q = q(α, β)) (3.2.4)