FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.6. PDE de primeira ordem F (x, y, u, p, q) = 0 28
e portanto:
[ ]
q(p + ɛ) − q(p)
dx +
dy = 0
ɛ
e, quando ɛ → 0, a linha limite deverá ser dada por:
{
0 = p dx + q(p) dy − du
0 = dx + q ′ (p) dy
(1.6.3)
Por outro lado, derivando implìcitamente F (x o , y o , u o , p, q(p)) = 0, em ordem a p, obtemos
0 = F p (.) + q ′ (p) F q (.), donde se deduz que:
q ′ (p) = −F p(x o , y o , u o , p, q(p))
F q (x o , y o , u o , p, q(p))
(1.6.4)
De (1.6.3) e (1.6.4), deduzimos então que os pontos de coordenadas (dx, dy, du), no espaço tangente
T Po IR 3 , e que pertencem ao cone de Monge K(P o ), devem satisfazer:
{
du = p dx + q dy, onde p e q devem satisfazer F (xo , y o , u o , p, q) = 0
dx
F p
= dy
(1.6.5)
F q
onde as derivadas parciais F p e F q , devem ser avaliadas em (x o , y o , u o , p, q).
Consideremos agora uma solução u = u(x, y) da equação (1.6.1), e ainda os valores:
u o = u(x o , y o ), p o = u x (x o , y o ), q o = u y (x o , y o )
O plano tangente T Po S, a S = gr u no ponto P o = (x o , y o , u o ), é dado por:
du = p o dx + q o dy
(omitindo mais uma vez o subíndice P o nas diferenciais), onde F (x o , y o , u o , p o , q o ) = 0, e portanto,
como aliás já notamos, esse plano é um elemento integral, i.e., é um membro da família F(P o ), que
é tangente ao cone de Monge em P o , ao longo de uma das suas geratrizes.
Desta forma fica definido em S = gr u um campo de linhas - em cada ponto P o ∈ S, a linha
correspondente será a referida geratriz de tangência. As curvas integrais deste campo de linhas
dizem-se as curvas características da solução u = u(x, y) (ver a figura 1.4).
Atendendo a (1.6.5), os pontos de coordenadas (dx, dy, du), no espaço tangente T Po IR 3 , que
estão simultâneamente neste plano e no cone de Monge em P o , devem satisfazer as equações das
características da solução u = u(x, y), seguintes:
dx
F p
= dy
F q
=
du
p o F p +q o F q
(1.6.6)
onde as derivadas parciais F p e F q , devem ser avaliadas em (x o , y o , u o , p o , q o ). É claro que estas
curvas estão em S = gr u. As equações (1.6.6) são pois as equações homogéneas da recta em T Po IR 3 ,
que é a geratriz de contacto do cone de Monge K(P o ) com o plano T Po S, tangente em P o ao gráfico
S = gr u da solução u = u(x, y) da PDE dada.
Um curva característica da solução u = u(x, y), é portanto uma curva em IR 3 , α : τ ↦→ α(τ) =
(x(τ), y(τ), u(τ)), que satisfaz as ODE’s seguintes:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ′ (τ) = F p (·)
y ′ (τ) = F q (·)
u ′ (τ) = u x (x(τ), y(τ)) F p (·) + u y (x(τ), y(τ)) F q (·)
(1.6.7)