FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.3. PDE homogénea de primeira ordem Xu = 0. 14
∇u(x) · X(x) = 0, ∀x ∈ N c , o que significa que o campo X é tangente a todas as hipersuperfície de
nível N c = {u ≡ c}, de u.
Por outras palavras, uma solução da equação (1.3.2) é uma função u = u(x 1 , · · · , x n ) ∈ C ∞ (IR n )
que é constante ao longo das órbitas do campo de vectores X, isto é, u é um integral primeiro
da equação diferencial vectorial:
x ′ = X(x), x = (x 1 , · · · , x n ) ∈ IR n (1.3.3)
Esta última equação diferencial, que nas coordenadas x i , corresponde ao sistema de ODE’s:
dx i
dt = Xi (x 1 , · · · , x n ), i = 1, · · · , n (1.3.4)
diz-se o sistema característico associado à PDE (1.3.2). É usual escrever o sistema (1.3.4), na
forma simétrica seguinte:
dx 1
X 1 (x 1 , · · · , x n ) = · · · =
dx n
X n (x 1 , · · · , x n )
(1.3.5)
No entanto, enquanto que a equação vectorial (1.3.3) (ou equivalentemente, o sistema (1.3.4))
fornece uma curva integral parametrizada α do campo X: α ′ (τ) = X(α(τ)), o sistema (1.3.4)
fornece uma curva integral da distribuição unidimensional gerada pelo campo X. Esta última
curva integral é, em geral, calculada em forma implícita.
Vamos então tentar encontrar as curvas solução do sistema (1.3.4), como intersecção de (n − 1)
hipersuperfícies em IR n , dadas pelas equações funcionalmente independentes:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
u 1 (x 1 , · · · , x n ) = c 1
.
(1.3.6)
u n−1 (x 1 , · · · , x n ) = c n−1
onde ∇u j são linearmente independentes, e os c j são constantes (j = 1, · · · , n − 1).
Suponhamos que C é uma curva dada implìcitamente pelas equações (1.3.6). Para que C seja
uma órbita do campo de vectores X, este terá de ser tangente à curva C, em cada um dos seus
pontos, e, portanto, X terá de ser ortogonal a todos os vectores ∇u j , para j = 1, · · · , n − 1.
Concluindo, para que as equações (1.3.6) representem órbitas do campo de vectores X, as funções
u j , j = 1, · · · , n − 1, devem satisfazer as PDE’s seguintes:
isto é:
X · ∇u j = 0, j = 1, · · · , n − 1
X 1 ∂uj
∂uj
+ · · · + Xn = 0, j = 1, · · · , n − 1 (1.3.7)
∂x1 ∂xn Por outras palavras, as soluções do sistema (1.3.4), ficam determinadas (a menos de reparametrização),
se conhecermos (n − 1) integrais primeiros, funcionalmente independentes, dessa mesma equação.
Por outro lado, se F é uma qualquer função de (n − 1) variáveis, e se u j , j = 1, · · · , n − 1,
são (n − 1) integrais primeiros funcionalmente independentes da equação característica (1.3.3),
associada à PDE (1.3.2), então a solução geral da PDE (1.3.2), é:
u(x 1 , · · · , x n ) = F (u 1 (x 1 , · · · , x n ), · · · , u n−1 (x 1 , · · · , x n )) (1.3.8)
Façamos a demonstração deste facto, para o caso de n = 3 variáveis. Assim, suponhamos que
temos a PDE:
X(x, y, z) u x + Y (x, y, z) u y + Z(x, y, z) u z = 0