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2.1. ODE’s de Primeira Ordem 79 cujas características são dadas por: dx −u = du x = dG 1 + G 2 Um integral primeiro é f = x 2 + u 2 . Para encontrar um segundo integral funcionalmente independente, multiplicamos os numerador e denominador da primeira fracção por −u, e os da segunda por x, para obter: x du − u dx x 2 + u 2 = dG 1 + G 2 e portanto: g = arc tg ( u x ) − arc tg (G) é um segundo integral. No entanto, é mais usual tomar como integral a tangente desta função, isto é: h = u − xG x + uG atendendo a que tg (α + β) = tg α−tg β 1+tg αtg β . Substituindo G por u′ , concluímos que a ODE u ′ = G(x, u) mais geral, que admite como simetria pontual, a rotação infinitesimal ξ = −u ∂ ∂x + x ∂ ∂u , é do tipo: ( F x 2 + u 2 , u − ) xu′ x + uu ′ = 0 ou: u−xu ′ x+uu = f ( x 2 + u 2) (2.1.65) ′ • Exemplo 2.1.21 ... Vejamos qual a forma da ODE u ′ = G(x, u) que admite como simetria pontual: ξ = x ∂ ∂x − u ∂ ∂u Neste caso a = a(x, u) = x e b = b(x, u) = −u, e a equação (2.1.63) é: cujas características são dadas por: x G x − u G u = −2G dx x = du −u = dG −2G Dois integrais primeiros são f = xu e g = x 2 G. Substituindo G por u ′ , concluímos que a ODE u ′ = G(x, u) mais geral, que admite como simetria pontual ξ = x ∂ ∂x − u ∂ ∂u , é do tipo: ( F xu, x 2 u ′) = 0 ou: x 2 u ′ = f (xu) (2.1.66) • Exemplo 2.1.22 ... Consideremos a equação de Riccati: u ′ + u 2 − 2 x 2 = 0
2.1. ODE’s de Primeira Ordem 80 Esta equação é invariante sob o grupo a uma parâmetro: τ ↦−→ Φ τ (x, u) = ( X = e τ x, U = e −τ u ) ou mais exactamente, sob o respectivo levantamento a J 1 , dado por (2.1.25), isto é: τ ↦→ Φ τ (1) (x, u, p) = ( X = e τ x, U = e −τ u, P = pe−τ e τ ) De facto, como neste caso F (x, u, p) = p + u 2 − 2 x 2 , vem que: F ◦ Φ (1) τ (x, u, p) = F (X, U, P ) = F (e ) τ x, e −τ u, pe −2τ = pe −2τ + ( e −τ u ) 2 2 − (e τ x) 2 ( = e −2τ p + u 2 − 2 ) x 2 = e −2τ F (x, u, p) O gerador infinitesimal do grupo a um parâmetro Φ τ , é: ξ = d ( dτ ∣ e τ x, e −τ u ) = x ∂ τ=0 ∂x − u ∂ ∂u cujo prolongamento a J 1 é dado por (2.1.51): ξ (1) = x ∂ ∂x − u ∂ ∂u − 2p ∂ ∂p e a versão infinitesimal da simetria da equação de Riccati, é a seguinte: [ ξ (1) F = x ∂ ∂x − u ∂ ∂u − 2p ∂ ] (p + u 2 − 2 ) ∂p x 2 = −2 (p + u 2 − 2 ) x 2 O difeomorfismo de rectificação φ, do campo ξ, é: = −2 F (2.1.67) φ : IR 2 rs −→ IR 2 xu (r, s) ↦−→ (x(r, s), u(r, s)) onde as respectivas componentes são determinadas pelo sistema de ODE’s, parametrizado por s: ∂x ⎧⎪ ⎨ ∂r (r; s) = x(r; s) ∂u ∂r (r; s) = −u(r; s) x(0; s) = 1 ⎪ ⎩ u(0; s) = s A primeira equação dá x(r, s) = a(s) e r . Mas como x(0; s) = 1, virá que a(s) = 1, e portanto x = e r . Quanto à segunda equação, ela dá u(r, s) = b(s) e −r . Como u(0; s) = s, virá que b(s) = s, e portanto u = s e −r . Portanto o difeomorfismo de rectificação do campo ξ, é: φ(r, s) = ( x = e r , u = s e −r)
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1.1. Equação de Pfaff P dx + Q dy
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