FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

Capítulo 1
Preliminares
1.1 Equação de Pfaff P dx + Q dy = 0
Vamos começar por considerar uma equação diferencial ordinária (ODE), de primeira ordem:
dy
dx = y′ = F (x, y) (1.1.1)
Formalmente, esta equação pode ser escrita como uma “equação com diferenciais” na forma:
dy − F (x, y) dx = 0
Para generalizar esta situação, vamos considerar uma equação de Pfaff, do tipo seguinte:
onde o primeiro membro:
θ = P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 (1.1.2)
θ = P (x, y) dx + Q(x, y) dy
é uma 1-forma diferencial definida num aberto U ⊆ IR 2 (P e Q são duas funções de classe C ∞ nesse
aberto U). Suponhamos ainda que θ nunca se anula em U. Então, em cada ponto (x, y) ∈ U ⊆ IR 2 , a
equação de Pfaff (1.1.2), θ = P dx+Q dy = 0, define uma recta l(x, y) no espaço tangente T (x,y) IR 2 ,
perpendicular ao vector (P (x, y), Q(x, y)). Desta forma fica definido um campo de linhas:
{l(x, y) : (x, y) ∈ U}
em U ⊆ IR 2 (ver a figura 1.1). Por exemplo, no caso da ODE (1.1.1), a equação de Pfaff correspondente
é θ = −F (x, y) dx + dy = 0, que define o campo de linhas {l(x, y)}, onde, em cada ponto
(x, y), a linha correspondente é a recta perpendicular ao vector (−F (x, y), 1), no espaço tangente
T (x,y) IR 2 . Note que, neste caso, essas linhas nunca são verticais (paralelas ao eixo dos yy).
Figure 1.1: Campo de linhas definido por P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
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