FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 77
• Exemplo 2.1.17 ... A equação u ′ = f(x), isto é:
F (x, u, p) = p − f(x) = 0
é evidentemente invariante sob o grupo a um parâmetro de translacções ao longo do eixo dos
uu:
τ ↦→ Φ τ (x, u) = (X = x, U = u + τ)
ou mais exactamente, sob o respectivo levantamento a J 1 , dado por (2.1.25), isto é: τ ↦→
Φ τ (1) (x, u, p) = (X = x, U = u + τ, P = p). De facto:
F (X, U, P ) = F (x, u + τ, p) = p − f(x) = F (x, u, p)
• Exemplo 2.1.18 ... A equação u ′ = f ( u
x
) , isto é:
( u
F (x, u, p) = p − f = 0
x)
é invariante sob o grupo a um parâmetro de mudanças de escala:
τ ↦→ Φ τ (x, u) = (X = e kτ x, U = e kτ u)
ou mais exactamente, sob o respectivo levantamento a J 1 , dado por (2.1.25), isto é: τ ↦→
Φ τ (1) (x, u, p) = (X = e kτ x, U = e kτ u, P = p). De facto:
F (X, U, P ) = F (e kτ x, e kτ u, p) = p − f
(
e kτ ) (
u
u
e kτ = p − f = F (x, u, p)
x
x)
• Exemplo 2.1.19 ... A ODE u ′ = G(x, u), isto é:
é invariante sob o campo de contacto:
F (x, u, p) = p − G(x, u) = 0
X = ξ (1) = a(x, u) ∂ ∂
+ b(x, u)
∂x ∂u + c(x, u, p) ∂ ∂p
com c = b x + (b u − a x ) p − a u p 2 , obtido por levantamento de ξ = a(x, u) ∂
∂
∂x
+ b(x, u)
∂u , se e
só se:
ξ (1) F = 0, sempre que F = 0 (2.1.58)
Como:
ξ (1) F =
(a ∂
∂x + b ∂
∂u + (b x + (b u − a x ) p − a u p 2 ) ∂ )
(p − G(x, u))
∂p
(2.1.59)
= −a G x − b G u + (b x + (b u − a x ) p − a u p 2 )
a condição (2.1.58) escreve-se na forma (atendendo a que F = 0 ⇒ p = G(x, u)):
b x + (b u − a x ) G − a u G 2 − a G x − b G u = 0 (2.1.60)
que é a equação que determina as simetrias infinitesimais “pontuais” da ODE u ′ = G(x, u),
isto é, as simetrias do tipo ξ (1) , para algum ξ ∈ IR 2 xu.