FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.3. Exercícios e exemplos suplementares 104
Resolução ... O gerador infinitesimal é:
ξ(x, u) =
e o seu prolongamento a J 2 é:
∂
(
)
x
∂τ ∣ τ=0 1 − τ x , u
= x 2 ∂ x + xu∂ u
1 − τ x
ξ (2) = x 2 ∂ x + xu∂ u + (u − xp)∂ p − 3qx∂ q
Os invariantes de ordem 0, são as soluções F = F (x, u) da PDE:
cujas características são dadas por:
e a solução geral é:
ξF = x 2 ∂F
∂x
+ xu
∂F
∂u = 0
dx
x 2 = du
xu
( x
F = F
u)
Os invariantes de ordem 1, são as soluções F = F (x, u, p) da PDE:
ξ (1) F = x 2 ∂F
∂x
cujas características são dadas por:
+ xu
∂F
∂u
dx
x 2 = du
xu =
+ (u − xp)
∂F
∂p = 0
dp
u − xp
Um integral primeiro é f = x/u ≡ C. Para encontrar um segundo integral funcionalmente independente,
substituímos x = Cu nas duas últimas fracções:
du
Cu 2 =
dp
u − Cup
⇒
du
Cu =
dp
1 − Cp
e integrando vem que g(x, u, p) = u ( 1 − x u p) = u − xp ≡ D é um segundo integral. A solução geral
é pois:
( ) x
F = F
u , u − xp
Finalmente, os invariantes de ordem 2, são as soluções F = F (x, u, p, q) da PDE:
ξ (2) F = x 2 ∂F
∂x
cujas características são dadas por:
+ xu
∂F
∂u
dx
x 2 = du
xu =
+ (u − xp)
∂F
∂p
dp
u − xp =
dq
−3qx
Usando a primeira e última fracções, obtemos um terceiro integral:
h(x, u, p, q) = x 3 q ≡ E
e portanto o invariante diferencial de ordem 2 mais geral é do tipo:
( )
x
F = F
u , u − xp, x3 q
− 3qx
∂F
∂q = 0