FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

3.2. Transformações de contacto no espaço 117
• A matriz J(m; α, β) tem característica máxima 2, para todo o (m; p = α, q = β). Neste caso:
φ m
def
= π ◦ Φ ◦ F m : (α, β) ↦−→ (X(m; α, β), Y (m; α, β), U(m; α, β))
é uma superfície imersa em IR 3 xyu:
S m
)
def
= φ m
(IR 2 αβ
parametrizada por α, β, e Φ ◦ F m é uma 2-faixa de contacto de tipo II, para todo o ponto m.
Localmente a superfície S a pode ser definida como uma superfície de nível de alguma função
escalar:
S m = {(X, Y, U) ∈ IR 3 : F (x, y, u; X, Y, U) = 0}
} {{ }
m
Mais concretamente - pelo menos um dos três Jacobianos:
∂(X, Y )
∂(α, β) , ∂(X, U)
∂(α, β) , ∂(Y, U)
∂(α, β)
(3.2.15)
é ≠ 0. Suponhamos por exemplo que é o primeiro. Podemos então resolver as duas primeiras
equações (3.2.12), em ordem a α e β, substituir o resultado na terceira, para obter uma
relação do tipo:
F (x, y, u; X, Y, U) = 0 (3.2.16)
a que chamamos uma equação directriz da transformação Φ. Esta equação representa o
lugar geométrico dos pontos M = (X, Y, U) que são o suporte da 2-faixa de tipo II, imagem
por Φ da 2-faixa de tipo 0, cujo suporte é o ponto m = (x, y, u). Fazendo agora variar o
ponto m = (x, y, u), obtemos uma família a 3 parâmetros de superfícies em IR 3 , gerada por
(3.2.16).
O nosso objectivo é agora deduzir relações entre F e as funções X, Y, U, P, Q, que definem a
transformação de contacto Φ, e que eventualmente permitam reconstruir esta a partir de F .
A ideia geométrica é a seguinte - consideremos um elemento de contacto c = (m, π), em
IR 3 xup, constituído por um ponto m = (x, u, p) e por um plano π ⊂ T m IR 3 , e seja s uma
superfície em IR 3 xup, tangente a π em m, isto é, π = T m s.
Quando o ponto m varia na superfície s, obtemos uma família a 2 parâmetros de superfícies
{S m } m∈s em IR 3 , gerada por (3.2.16). A 2-faixa de contacto F m e a superfície s têm um
elemento de contacto comum - o elemento c = (m, π = T m s).
Consideremos agora a superfície S
def = Φ(s), em J 1 . Como Φ é transformação de contacto,
S e S m têm um elemento de contacto em comum - o elemento (M, Π) = Φ(c) = Φ(m, π),
onde M é o ponto de contacto de S com S m , e Π é o respectivo plano tangente comum, em
M.
Mas isto significa que S é a envolvente da família a 2 parâmetros de superfícies {S m } m∈s .
Desta forma, fica definida geomètricamente Φ, através da correspondência:
(m, π) ↦−→ (M, Π)
Para definir analìticamente Φ, a partir de F , suponhamos que s é dada por u = u(x, y).
Então cada S m é definida por:
F (x, y, u(x, y); X, Y, U) = 0 (3.2.17)