FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 39
Dado um grupo (local ou global) a um parâmetro de difeomorfismos Φ, em IR n , ao campo de
vectores:
def
X : x ↦→ X(x) = α ′ x(0) ∈ T x IR n (1.7.7)
chama-se o campo de velocidades ou o gerador infinitesimal de Φ (ver a figura 1.8).
Recìprocamente, temos o teorema fundamental seguinte:
Figure 1.8: Campo de velocidades de um fluxo
Teorema 1.7.1 “Teorema da integrabilidade para campos de vectores” ... Todo o
campo de vectores X ∈ X(IR n ) é gerador infinitesimal de um único grupo a um parâmetro de
difeomorfismos maximal Φ X em IR n . Quando X tem suporte compacto, Φ X é um grupo a um
parâmetro de difeomorfismos global.
– Dem. ... (esboço) ... O teorema de existência e unicidade de soluções de equações
diferenciais ordinárias implica que, para cada x ∈ IR n existe um intervalo aberto maximal
I x ⊂ IR, que contem 0, e uma única curva integral α x : I x → IR n de X, tal que α x (0) = x.
Definimos então:
Φ X τ (x) = Φ X def
(τ, x) = α x (τ) (1.7.8)
onde α x é a única curva integral α x : I x → IR n de X, acima referida. Φ X (τ, x) é uma
função de classe C ∞ , atendendo ao teorema da dependência diferenciável das soluções
de equações diferenciais ordinárias, relativamente às condições iniciais. Além disso, se
Φ X está definida em (τ, x) também está definida para (η, y) próximo.
As condições Φ X (0, x) = x e Φ X (τ, Φ X (η, x)) = Φ X (τ + η, x) deduzem-se do facto de
que, para cada y ∈ IR n , Φ X∣ ∣
∣Iy é uma curva integral de X. Com efeito, por (1.7.8)
×{y}
vem que Φ X (0, x) = α x (0) = x. Por outro lado:
τ ↦−→ Φ X (τ + η, x) e τ ↦−→ Φ X (τ, Φ X (η, x))
(para todo o τ para o qual estão definidas) são duas curvas integrais maximais de X,
que no instante τ = 0 passam ambas em Φ X (η, x), e por unicidade coincidem portanto.
Resta mostrar que:
O
def =
⋃
x∈IR n I x × {x}
é um aberto que contem {0} × IR n (claro!), e que Φ X é diferenciável. A demonstração
completa destes factos pode ser vista em [Sp], vol.1, por exemplo.