FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.6. PDE de primeira ordem F (x, y, u, p, q) = 0 34
e portanto a faixa inicial de elementos característicos é:
˜γ(s) =
(x = s, t = 0, u = as, p = a, q = −a 2)
A condição (1.6.19), é válida ∀s, já que:
x ′ (s) F q (·) − t ′ (s) F p (·) = p = 1 ≠ 0,
∀s
As equações características (1.6.10), são (pondo agora ′ = d/dτ):
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ′ = F p
t ′ = F q
u ′ = p F p + q F q ⇒
q ′ = −F t − q F u
p ′ = −F x − p F u
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ′ = 2p
t ′ = 1
u ′ = 2p 2 + q
p ′ = 0
q ′ = 0
A curva inicial ˜γ, corresponde a τ = 0. Como p e q são constantes ao longo das características,
temos que:
p(s, τ) = p(s, 0) = a, q(s, τ) = q(s, 0) = −a 2 (1.6.24)
Resolvendo agora as equações características, para x, y e u, usando (1.6.23) e (1.6.24), obtemos:
x = x(s, τ) = 2aτ + s, t = t(s, τ) = τ, u = u(s, τ) = a 2 τ + as
Invertendo as duas primeiras equações, obtemos τ = t, s = x − 2at, e inserindo na terceira,
obtemos finalmente a solução:
u = (x − at) a
que representa uma onda plana que se move com velocidade a (para a direita se a > 0, e para
a esquerda se a < 0, ver a figura 1.6).
Figure 1.6: Onda plana.
• Exemplo 1.6.3 ... Equação eiconal da óptica geométrica em duas variáveis espaciais
x, y:
‖∇u‖ 2 = u 2 x + u 2 y = n 2
onde n é uma constante não nula. Como condição inicial, consideramos a seguinte:
onde a é uma constante.
u(x, y)| y=x
= u(x, x) = ax