FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.1. ODE’s de Primeira Ordem 60
• Exemplo 2.1.1 ... Considere a equação:
(u ′ ) 2 + u 2 = 1
Neste caso:
Σ = {(x, u, p) : F (x, u, p) = p 2 + u 2 − 1 = 0}
que é um cilindro em IR 3 , cujo eixo é o eixo dos xx (ver a figura 2.4).
Figure 2.4: A equação (u ′ ) 2 + u 2 = 1.
A direcção característica num ponto c = (x, u, p) ∈ SS, isto é, a recta C SS | c = Π c ∩ T c SS, é
definida pelas equações seguintes:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
p 2 + u 2 = 1 o ponto está em SS
du − p dx = 0 a recta está em Π c
p dp + u du = 0 a recta está em T c SS
No entanto, conseguiremos uma muito maior simplicidade nos cálculos, se usarmos coordenadas
(locais) adequadas à geometria de SS, isto é, se usarmos coordenadas cilíndricas (θ, x),
neste caso. Nestas coordenadas, um ponto c = (x, u, p) ∈ SS será parametrizado por (θ, x).
Vamos pois usar a seguinte parametrização (local) de SS:
φ : (θ, x) ↦−→ (x, u = sin θ, p = cos θ)
O pull-back da forma de contacto a SS é então dado, nas coordenadas (θ, x), por:
ω SS
def
= φ ∗ (ω)
= (du − p dx)| u=sin θ, p=cos θ
= d(sin θ) − (cos θ) dx
= (cos θ) dθ − (cos θ) dx
= (cos θ) d(θ − x)
O respectivo núcleo, ker ω SS , define a distribuição característica de SS, nos pontos em que
ω SS≠0 . Os pontos onde ω SS=0 (pontos singulares de SS, onde o plano de contacto coincide
com o plano tangente), são dados por cos θ = 0 ⇔ θ = kπ/2, isto é, são os pontos das rectas
u = ±1, no plano de configuração p = 0, que são as soluções singulares da equação.
No complementar das rectas p = 0, u = ±1, em SS, a distribuição característica é dada por
dθ − dx = d(θ − x) = 0, e é claro que as respectivas curvas integrais são dadas por θ − x = a,
a ∈ IR constante, que são hélices circulares em SS (ver a figura 2.4):
θ = x + a,
a ∈ IR
ou:
x ↦→ (x, sin(x + a), cos(x + a)), x ∈ IR, a ∈ IR