FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 53
• Exemplo... Em M = IR 3 considere o sistema de Pfaff gerado por uma 1-forma:
θ = P dx + Q dy + R dz
que nunca se anula em qualquer ponto. P será fechado sse dθ ∈ P, i.e., sse dθ = η ∧ θ para
algum η ∈ Ω 1 (IR 3 ). É fácil ver que esta condição é equivalente à seguinte dθ ∧ θ = 0, o que
conduz à seguinte condição de integrabilidade:
P (R y − Q z ) + Q(P z − R x ) + R(Q x − P y ) = 0
Identificando θ com o campo de vectores X = P ∂
∂x +Q ∂ ∂y +R ∂ ∂z
, a condição anterior significa
que:
(∇ × X) · X = 0
isto é, o rotacional de X é sempre perpendicular a X.
.
Seja D uma distribuição em U ⊆ IR n , X ∈ X(IR n ) um campo de vectores e Φ τ = Φ X τ o respectivo
grupo local a um parâmetro de difeomorfismos (ou fluxo local).. Para cada τ, o difeomorfismo local
Φ τ transforma o subespaço D x ⊂ T x IR n no subespaço d (Φ τ ) x
(D x ) ⊂ T Φτ (x) IRn .
Diz-se que a distribuição D é invariante sob o grupo local a um parâmetro Φ τ se:
d(Φ t ) x (D x ) = D Φt(x) ∀x ∈ IR n (1.7.35)
Repre-
Neste caso diz-se também que X é uma simetria (infinitesimal) da distribuição D.
sentaremos por Sim(D), o conjunto constituído pelas simetrias infinitesimais de D.
Teorema 1.7.5 ... Seja D uma distribuição de dimensão k num aberto U ⊆ IR n , e X ∈ X(U)
um campo de vectores. Então as condições seguintes são equivalentes:
• 1.
• 2.
D é invariante sob o grupo local a um parâmetro Φ X τ , isto é, X ∈ Sim(D).
Se D é (localmente) gerada pelos campos Z 1 , · · · , Z k , então:
[X, Z i ] = ∑ k
j=1 a j i Z j (1.7.36)
para certas funções a j i ∈ C∞ (U).
• 3. Se D é (localmente) definida pelas 1-formas θ 1 , · · · , θ n−k , então:
para certas funções b j i ∈ C∞ (U).
L x θ i = Xθ i = ∑ n−k
j=1 bi j θj (1.7.37)
– Dem. ... 1 ⇒ 2. Seja X uma simetria da distribuição D, e Φ τ = Φ X τ o respectivo
fluxo local. Como o difeomorfismo Φ τ preserva D, ∀τ, a imagem dos campos Z i ∈ Γ(D)
pertencem também a Γ(D):
(Φ τ ) ∗
(Z i ) = ∑ j
µ ij (τ)Z j