FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.3. Exercícios e exemplos suplementares 105
• • Exercício 2.3.14 ... Calcular os invariantes diferenciais de ordem 2 do grupo (local) a
um parâmetro de difeomorfismos de IR 2 xu:
Φ τ (x, u) =
( )
e τ x, e −3τ u
• • Exercício 2.3.15 ... Calcular pelo método de Lie-Jacobi a transformação de contacto
de equação directriz:
Verificar o resultado obtido.
Solução: (x, u, p) ↦→
H(x, u; X, U) = (x − X) 2 − 2a (u − U) = 0
(
)
X = x − ap, U = u − 1 2 ap2 , P = p
• • Exercício 2.3.16 ... Calcular pelo método de Lie-Jacobi a transformação de contacto
de equação directriz:
Verificar o resultado obtido.
Solução: (x, u, p) ↦→
H(x, u; X, U) =
(
X = x ±
a 2 p
√
a 2 p 2 +b 2 , U = u ∓
(x − X)2 (u − U)2
a 2 +
b 2 − 1 = 0
)
√ u−xp , P = p a 2 p 2 +b 2
• • Exercício 2.3.17 ... Calcular pelo método de Lie-Jacobi a transformação de contacto
de equação directriz:
Verificar o resultado obtido.
Solução: (x, u, p) ↦→
(
X = − x2 p
u−xp , U =
• • Exercício 2.3.18 ... Mostrar que:
Φ : (x, u, p) ↦→
H(x, u; X, U) = X x + U u − 1 = 0
)
u2
u−xp , P = − u x
(
X = px − u
)
, U = u − xp, P = − xp2
p
u
é uma transformação local de contacto em J 1 . Calcular uma equação directriz H(x, u; X, U) =
0 para Φ.
Solução: H(x, u; X, U) = x X + u U − 1 = 0.
• • Exercício 2.3.19 ...
– (i). Mostrar que a transformação:
Φ : (x, u, p) ↦−→
(
X = x +
)
rp
√ , U = u − r
√ , P = p 1 + p 2 1 + p 2
é uma transformação local de contacto em J 1 .