FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 48
Vamos agora introduzir algumas derivadas de Lie ao longo de um campo de vectores X ∈ X(IR n ).
Nomeadamente para cada X ∈ X(IR n ), se Φ τ = Φ X τ designa o respectivo fluxo (local), define-se a:
• Derivada de Lie de uma função f ∈ C ∞ (IR n ):
L X f(x) = Xf(x)
def
= d dt∣ f (Φ τ (x)) = X(x)f = D X(x) f (1.7.27)
t=0
• Derivada de Lie de um campo de vectores Y ∈ X(IR n ):
L X Y(x)
[ ]
def
= d dt∣ d (Φ −τ )
τ=0 Φ(x)
Y Φ(x)
(1.7.28)
É possível mostrar que são válidas as propriedades seguintes (ver [Spivak, vol.1, Cap. 5]):
–
L X Y = [X, Y] , ∀X, Y ∈ X(IR n )
– Sejam X, Y ∈ X(IR n ) dois campos de vectores C ∞ , e x ∈ IR n um ponto onde X e Y
não se anulam. Defina-se para τ suficientemente pequeno, a curva γ:
γ(τ)
def
= Φ Y −τ Φ X −τ Φ Y τ Φ X τ (x)
Então:
[X, Y] x = lim
τ→0
γ ′ ( √ τ)
– Se X, Y ∈ X(IR n ), então as condições seguintes são equivalentes:
∗ L X Y = [X, Y] = 0
∗ (Φ X τ ) ∗ Y = Y, sempre que definidos.
∗ Φ X τ ◦ Φ Y η = Φ Y η ◦ Φ X τ , sempre que definidos.
1.7.2 Distribuições. Teorema de Frobenius
Uma distribuição ou sistema diferencial D de dimensão k, num aberto U ⊆ IR n é uma aplicação
que, a cada ponto x ∈ U ⊆ IR n , associa um subespaço D x , de dimensão k, em T x IR n .
Diz-se que um campo de vectores Z ∈ X(U) pertence à distribuição D, se Z(x) ∈ D x , ∀x ∈ U.
É claro que, se Z pertence à distribuição D, também o campo fZ pertence a D, ∀f ∈ C ∞ (U).
Portanto o conjunto dos campos que pertencem a D tem estrutura de módulo sobre C ∞ (U), que
representamos por Γ(D). Uma distribuição será de classe C ∞ se, na vizinhança de cada ponto de
U, existirem k campos de vectores de classe C ∞ que, em cada ponto x, constituam uma base de
D x .
Uma distribuição D em IR n diz-se involutiva se verifica a condição:
isto é, Γ(D) é uma subálgebra de Lie de X(IR n ).
[Γ(D), Γ(D)] ⊆ Γ(D) (1.7.29)
Uma distribuição D em IR n diz-se completamente integrável se, na vizinhança de cada ponto
de U ⊆ IR n IR n , existem coordenadas locais r 1 , · · · , r n , tais que os campos de vectores coordenados:
∂
∂r 1 , · · · , ∂
∂r k