FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.2. ODE’s de Segunda Ordem 92
2.2.4 Integração de F (x, u, u ′ , u ′′ ) = 0 através de duas simetrias
Nesta secção vamos apenas analisar alguns exemplos de integração da ODE F (x, u, u ′ , u ′′ ) = 0,
quando esta possui duas simetrias.
• Exemplo 2.2.7 ... Considere a equação linear:
que admite as simetrias pontuais:
u ′′ − 2u
x 2 = 0
ξ 1 = u ∂
∂u , e ξ 2 = x ∂
∂x
De facto, com F (x, u, p, q) = q − 2u
x 2 , temos que:
(
ξ (2) ∂
1 F = ∂u + p ∂ ∂p + q ∂ ) (
q − 2u )
∂q x 2
= q − 2u
x 2 = F
ξ (2)
2 F = ( ∂
∂x − p ∂ ∂p − 2q ∂ ∂q
) (
q − 2u
x 2 )
= −2q + 4u
x 2 = −2F (2.2.55)
Note que ξ 1 e ξ 2 geram uma álgebra de Lie real de dimensão 2, abeliana, uma vez que
[ξ 1 , ξ 2 ] = 0.
Vamos rectificar o campo ξ 1 = u ∂
∂u
. Este campo é transversal à recta u = 1. O difeomorfismo
de rectificação:
φ : IR 2 −→ IR 2
(r, s) ↦−→ (x(r, s), u(r, s)) , com φ ∂
∗
∂s = ξ 1
pode então ser escolhido de tal forma que as respectivas componentes são determinadas pelo
sistema de ODE’s, parametrizado por r:
⎧
∂x
∂s ⎪⎨ ∂u
∂s
⎪⎩
(r; s) = 0
(r; s) = u(r; s)
x(r; 0) = r
u(r; 0) = 1
o que dá x(r; s) = r e u(r, s) = e s . O prolongamento de φ a J 2 :
φ (2) : IR 4 rswz −→ IR 4 xupq
é dado por (2.2.8), adaptando devidamente as notações:
(
φ (2) (r, s, w, z) = r, e s , u r + wu s
, p )
r + wp s + zp w
x r + wx s x r + wx s
=
(r, e s , we s , w 2 e s + ze s)