FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

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3.2. Transformações de contacto no espaço 119 • Exemplo 3.2.1 Transformação de Legendre ... é a transformação por polares recíprocas relativamente à quádrica (parabolóide): x 2 + y 2 − 2u = 0 A equação directriz F = 0, é a equação de conjugação entre os pontos a = (x, y, u) e A = (X, Y, U): F (x, y, u, X, Y, U) = xX + yY − (u + U) = 0 O sistema (3.2.18) é: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ xX + yY − (u + U) = 0 X − p = 0 Y − q = 0 Quanto ao sistema (3.2.19), ele é: { x − P = 0 y − Q = 0 e a transformação de Legendre é portanto: ⇒ ⇒ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ X = p Y = q U = xp + yq − u { P = x Q = y L : (x, y, u, p, q) ↦−→ (X = p, Y = q, U = xp + yq − u, P = x, Q = y) (3.2.22)
Bibliography [1] V. Arnold, “Chapitres Supplémentaires de la Théorie des Équations Différentielles ordinaires.” Éditions MIR de Moscou. [2] I.S. Krasil’shchik, A.M. Vinogradov, “Symmetries and Conservation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics.” Translations of Mathematical Monographs, Volume 182, AMS. [3] M. Giaquinta, S. Hildebrant, “Calculus of Variations II.” Springer Verlag. [4] J. N: Tavares, “Curso de Geometria Diferencial.” Departamento de Matemática Pura, Faculdade de Ciências do Porto. [5] J. N: Tavares, “Curso de Cálculo Avançado.” Departamento de Matemática Pura, Faculdade de Ciências do Porto. 120
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Capítulo 1 Preliminares 1.1 Equaç
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1.1. Equação de Pfaff P dx + Q dy
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1.2. PDE de primeira ordem linear P
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1.2. PDE de primeira ordem linear P
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1.3. PDE homogénea de primeira ord
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1.3. PDE homogénea de primeira ord
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1.4. Simetrias e factores integrant
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1.5. PDE quasi-linear de primeira o
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1.6. PDE de primeira ordem F (x, y,
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1.7. Apêndice 38 - O contem {0}×I
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1.7. Apêndice 40 Suponhamos finalm
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1.7. Apêndice 42 é ainda uma deri
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1.7. Apêndice 44 - (ii). Para faci
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1.7. Apêndice 46 Mais uma vez não
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1.7. Apêndice 48 Vamos agora intro
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1.7. Apêndice 50 onde {Z i } i=1,
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1.7. Apêndice 52 para certas 1-for
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1.7. Apêndice 54 onde µ ij (τ)
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Capítulo 2 Geometria de contacto d
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2.1. ODE’s de Primeira Ordem 58 O
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