FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

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1.7. Apêndice 45 • Exemplo 1.7.8 ... Consideremos o campo em IR 2 : X(x, y) = −y ∂ ∂x + x ∂ ∂y Perto de um ponto (a, b) ≠ (0, 0), o campo X não se anula e pode por isso ser rectificado. Se b ≠ 0, X é transversal ao eixo dos yy, e a aplicação de rectificação (1.7.16), é neste caso: φ(r, s) = Φ X r (a, b + s) definida numa vizinhança de 0 ∈ IR 2 rs. O fluxo de X foi calculado anteriormente: Portanto: [ ] [ ] Φ X cos τ − sin τ x τ (x, y) = sin τ cos τ y φ(r, s) = Φ X r (a, b + s) = (a cos r − (b + s) sin r, a sin r + (b + s) cos r) . Na prática, não há motivo nenhum para impôr que φ(0) = x o . Assim, no último exemplo, as coordenadas polares usuais para IR 2 : ψ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) são também “boas” coordenadas na vizinhança de um qualquer ponto diferente de 0, e rectificam o campo X, que é, como já vimos, o gerador infinitesimal de uma rotação plana em torno da origem. Com efeito: ( ) [ ] [ ] [ ] ∂ cos θ −r sin θ 0 −r sin θ dψ (r,θ) = = = −r sin θ ∂ ∂θ sin θ r cos θ 1 r cos θ ∂x + r cos θ ∂ = X(ψ(r, θ)) ∂y • Exemplo 1.7.9 ... Consideremos o grupo local a um parâmetro de inversões em IR 2 , dado por: ( ) Φ τ (x, y) = x 1−τx , y 1−τx O seu gerador infinitesimal calcula-se da seguinte forma: X(x, y) = ∂ ( ) x ∂τ ∣ τ=0 1 − τx , y 1 − τx = x 2 ∂ ∂x + xy ∂ ∂y e é portanto igual a : X(x, y) = x 2 ∂ ∂x + xy ∂ ∂y (1.7.19) Vamos rectificar este campo na vizinhança de um ponto x o = (a, b), onde a ≠ 0. A aplicação de rectificação (1.7.16), é neste caso: φ(r, s) = Φ X r (a, b + s) ( ) a = 1 − ra , b + s 1 − ra
1.7. Apêndice 46 Mais uma vez não há motivo nenhum para impôr que φ(0) = (a, b). Aliás, por uma mudança linear de coordenadas podemos supôr que a = 1 e b = 0, o que simplifica ψ, que fica com o aspecto seguinte: ( ) 1 φ(r, s) = 1 − r , s 1 − r e tomando −r em vez de 1 − r, obtemos ainda mais a simplificação seguinte: φ(r, s) = ( − 1 ) r , −s r Calculando: ( ) ∂ dφ (r,s) = ∂r [ 1/r 2 0 s/r 2 1/r ] [ 1 0 ] = [ 1/r 2 s/r 2 ] = 1 r 2 ∂ ∂x = s r 2 ∂ ∂y = X(φ(r, s)) . O difeomorfismo de rectificação: φ : IR n r i −→ IR n x i fica definido pela condição seguinte: dφ r ( ∂ ∂r 1 ) = X (φ (r)) Mais concretamente, se: e se: φ : IR n −→ IR n r = (r 1 , · · · , r n ) ↦−→ ( x 1 (r 1 , · · · , r n ), · · · , x n (r 1 , · · · , r n ) ) (1.7.20) X = n∑ i=1 então a condição anterior traduz-se na seguinte: X i (x 1 , · · · , x n ) ∂ ∂x i (1.7.21) ∂x i ( ∂r 1 r 1 ; r 2 · · · , r n) ( ( = X i x 1 r 1 ; r 2 · · · , r n) ( , · · · , x n r 1 ; r 2 · · · , r n)) , i = 1, · · · , n (1.7.22) Olhando para r 1 como uma variável e para r 2 , · · · , r n como parâmetros, o sistema (1.7.22) representa um sistema de ODE’s com n − 1 parâmetros, que devemos resolver impondo a condição inicial: x i (0; r 2 · · · , r n ) = r i , i = 2, · · · , n (1.7.23) • Exemplo 1.7.10 ... Consideremos de novo o campo: O difeomorfismo de rectificação será: X(x, y) = x 2 ∂ ∂x + xy ∂ ∂y φ : IR 2 −→ IR 2 (r, s) ↦−→ (x(r, s), y(r, s))
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3.1. Geometria da equação F (x, u
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3.2. Transformações de contacto n
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Bibliography [1] V. Arnold, “Chap
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