FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

2.3. Exercícios e exemplos suplementares 97
Vem então que:
µθ =
x
x 2 u 2 − xu − 2 dx + x 2 u 2 − 2
x(x 2 u 2 − xu − 2) du
é uma forma fechada e portanto localmente exacta (lema de Poincaré): µθ = df localmente. Como:
x du + u dx
µθ =
x 2 u 2 − xu − 2 + dx (
x = d ln |x| + 1 ∣ ) ∣∣∣
3 ln xu − 2
xu + 1∣
obtemos o integral:
(iv). Cálculo.
f(x, u) = x 3 xu − 2
xu + 1 = C
• • Exercício 2.3.2 ... Considere a equação:
(E)...
xu ′ = u + F (x)
– (i). Mostre que ξ = x ∂
∂u
é simetria infinitesimal de (E).
– (ii). Calcule o grupo local a um parâmetro Φ τ = Φ ξ τ , e mostre directamente que ele é
simetria (finita) de (E).
– (iii). Calcule um factor integrante e integre a equação dada.
– (iv). Integre a mesma equação (E), usando agora “coordenadas canónicas” (relativas a
ξ.)
Resolução ...
(i). Reescrevendo (E) em forma de Pfaff:
sabemos que Z = x ∂
∂x
+ (u + F (x))
∂
∂u
[ξ, Z] =
ξ é simetria infinitesimal de (E).
θ = x du − (u + F (x)) dx = 0
gera o campo de linhas correspondente, e como:
[
x ∂
∂u , x ∂
∂
+ (u + F (x))
∂x ∂u
]
= 0
(ii). As equações diferenciais que determinam Φ τ são:
{
x ′ (τ) = 0
u ′ com condição inicial, para τ = 0
(τ) = x(τ)
{
x(0) = x
u(0) = u
Integrando vem que:
O respectivo prolongamento a J 1 é:
Φ τ (x, u) = (x, xτ + u)
Pondo F (x, u, p) = xp − u − F (x), vem que:
Φ (1)
τ (x, u) = (x, xτ + u, τ + p)
F ◦ Φ (1)
τ (x, u, p) = F (x, xτ + u, τ + p)
= x(τ + p) − (xτ + u) − F (x)
= xp − u − F (x)
= F (x, u, p)