FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

1.7. Apêndice 45
• Exemplo 1.7.8 ... Consideremos o campo em IR 2 :
X(x, y) = −y ∂
∂x + x ∂
∂y
Perto de um ponto (a, b) ≠ (0, 0), o campo X não se anula e pode por isso ser rectificado. Se
b ≠ 0, X é transversal ao eixo dos yy, e a aplicação de rectificação (1.7.16), é neste caso:
φ(r, s) = Φ X r (a, b + s)
definida numa vizinhança de 0 ∈ IR 2 rs. O fluxo de X foi calculado anteriormente:
Portanto:
[ ] [ ]
Φ X cos τ − sin τ x
τ (x, y) =
sin τ cos τ y
φ(r, s) = Φ X r (a, b + s) = (a cos r − (b + s) sin r, a sin r + (b + s) cos r)
.
Na prática, não há motivo nenhum para impôr que φ(0) = x o . Assim, no último exemplo, as
coordenadas polares usuais para IR 2 :
ψ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ)
são também “boas” coordenadas na vizinhança de um qualquer ponto diferente de 0, e rectificam o
campo X, que é, como já vimos, o gerador infinitesimal de uma rotação plana em torno da origem.
Com efeito:
( ) [ ] [ ] [ ]
∂ cos θ −r sin θ 0 −r sin θ
dψ (r,θ) =
=
= −r sin θ ∂
∂θ sin θ r cos θ 1 r cos θ
∂x + r cos θ ∂ = X(ψ(r, θ))
∂y
• Exemplo 1.7.9 ... Consideremos o grupo local a um parâmetro de inversões em IR 2 ,
dado por:
( )
Φ τ (x, y) = x
1−τx , y
1−τx
O seu gerador infinitesimal calcula-se da seguinte forma:
X(x, y) =
∂
(
)
x
∂τ ∣ τ=0 1 − τx , y
1 − τx
= x 2 ∂
∂x + xy ∂ ∂y
e é portanto igual a :
X(x, y) = x 2 ∂
∂x + xy ∂
∂y
(1.7.19)
Vamos rectificar este campo na vizinhança de um ponto x o = (a, b), onde a ≠ 0. A aplicação
de rectificação (1.7.16), é neste caso:
φ(r, s) = Φ X r (a, b + s)
( )
a
=
1 − ra , b + s
1 − ra