FCUP Dep. Matemática Pura Geometria das Equaç˜oes Diferenciais

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1.7. Apêndice 51 • D é completamente integrável (isto é, localmente, na vizinhança de cada ponto de U, existem coordenadas locais r 1 , · · · , r n , tais que { ∂ ∂r i } i=1,···,k formam uma base local para D). – Dem. ... – Suponhamos que D é involutiva. Como o resultado é local, podemos supôr (por uma escolha conveniente de eixos cordenados) que p = 0 e que D 0 ⊂ T 0 IR n ∼ = IRn é gerado por: ∂ ∂x 1 ∣ ∣∣∣0 , · · · , ∂ ∂x k ∣ ∣∣∣0 Seja π : IR n → IR k a projecção nos primeiros k factores. Então π ∗0 : D 0 → IR k é um isomorfismo, e por continuidade dπ x é injectiva em D x , para x perto de 0. Portanto perto de 0, podemos sempre escolher de forma única campos de vectores: tais que: π ∗ X i (x) = X 1 (x), · · · , X k (x) ∈ D x ∂ ∂x i ∣ ∣∣∣π(x) i = 1, · · · , k Isto significa que os campos X i , definidos numa vizinhança [ de 0 ] em IR n , e os campos ∂ em IR k , estão π-relacionados, e portanto [X ∂x i i , X j ] e ∂ ∂ , = 0 também estão ∂x i ∂x j π-relacionados: [ ∂ π ∗ [X i , X j ] x = ∂x i , ∂ ] ∂x j = 0 π(x) Mas por hipótese, [X i , X j ] x ∈ D x , e como π ∗x é injectiva em D x , concluímos que [X i , X j ] = 0. Pelo teorema da rectificação de campos de vectores, visto na secção anterior, existe um sistema de coordenadas locais (U; x i ) tal que: e portanto D é integrável. X i = ∂ ∂x i i = 1, · · · , k – Suponhamos agora que D é integrável. Seja S i ↩→ M uma variedade integral (local), e X, Y ∈ Γ(D). Então existem campos C ∞ únicos X, Y em S tais que T i(X) = X e T i(Y) = Y, isto é X, X e Y, Y estão i-relacionados. Portanto [X, Y] e [X, Y] estão também i-relacionados: di x [X, Y] x = [X, Y] x e como [X, Y] x ∈ T x S, isto mostra que [X, Y] x ∈ D x , o que significa que D é involutiva. . Analisemos agora a dualidade natural entre distribuições, no sentido de Frobenius, e sistemas de Pfaff gerados por uma colecção finita de 1-formas. Por definição, um sistema de Pfaff P, é um ideal finitamente gerado por um conjunto {θ 1 , · · · , θ r } de 1-formas, ou formas de Pfaff em IR n . Um sistema de Pfaff P é fechado sse as derivadas exteriores das 1-formas geradoras pertencerem ao ideal P, e portanto puderem ser escritas na forma: r∑ dθ i = η i j ∧ θ j , i = 1, · · · , r j=1
1.7. Apêndice 52 para certas 1-formas η i j ∈ Ω1 (IR n ). Seja D uma distribuição de dimensão k em IR n . Consideremos o conjunto I (1) D 1-formas que se anulam em D, isto é: I (1) D = {θ ∈ Ω1 (IR n ) : θ(X) = 0 ∀X ∈ Γ(D) } de todas as e seja D ⊥ = I D o ideal gerado por I (1) D . A D⊥ chamamos o ideal dual à distribuição D. Se D é (localmente) gerada por k campos de vectores X 1 , · · · , X k ∈ Γ(D), que são linearmente independentes em cada ponto, então D ⊥ será gerado por n − k formas de grau 1, θ 1 · · · , θ n−k , que são também linearmente independentes em cada ponto. Em particular o rank do ideal D ⊥ é igual ao corank de D. Recìprocamente, se P é um sistema de Pfaff, gerado por uma colecção finita de 1-formas, então a distribuição dual P ⊥ define-se como sendo a distribuição gerada por todos os campos de vectores que são anulados por todas as 1-formas diferenciais em P. Portanto X ∈ Γ(D) se e só se θ(X) = 0, ∀θ ∈ P. A proposição) seguinte é clara: • Proposição 1.7.2 ... Seja D uma distribuição de rank k em IR n , e D ⊥ o ideal dual associado, de rank n − k. Uma subvariedade imersa S ↩→ M é uma variedade integral do ideal D ⊥ se e só se fôr uma variedade integral da distribuição D. A condição análoga à condição de involução, é a de fecho do ideal dual: • Proposição 1.7.3 ... Uma distribuição D de rank k em M é involutiva se e só se o respectivo ideal dual D ⊥ fôr fechado, i.e.: e portanto fôr um ideal diferencial. dD ⊥ ⊆ D ⊥ • Dem. ... Como D ⊥ é gerado por 1-formas, é suficiente verificar que dθ ∈ D ⊥ , ∀θ ∈ D ⊥ . A prova resulta agora imediatamente da identidade já conhecida: dθ(X, Y) = X θ(Y) − Y θ(X) − θ ([X, Y]) onde θ ∈ Ω 1 (M) e X, Y ∈ X(IR n ), . Podemos finalmente enunciar a segunda versão do Teorema de Frobenius: • Teorema 1.7.4 Teorema de Frobenius - 2. a versão... Seja P um sistema de Pfaff de rank n − k, gerado (localmente) por uma colecção de 1-formas {θ 1 , · · · , θ n−k }, em IR n . Então P é k-integrável se e só se uma das seguintes condições equivalentes se verifica: – P é um ideal diferencial. – dθ j ∧ θ 1 ∧ · · · ∧ θ n−k = 0, j = 1, · · · , n − k
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3.2. Transformações de contacto n
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Bibliography [1] V. Arnold, “Chap
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